數學建模常見算法
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數學建模常見算法范文第1篇
前言：數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學模型是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。在21世紀新時代下，信息技術的快速發展使得數學建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。
正文：自從20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展、數學理論與方法的不斷擴充，使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。而數學建模作為數學方面的分支，在其中起到了關鍵性的作用。
談到數學建模的過程，可以分為以下幾個部分：
一.模型準備
了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰準確。
二.模型假設
根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。
三.模型建立
在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。
四.模型計算
利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。其中需要應用到一些計算工具，如matlab。
五.模型分析
對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。
六.模型檢驗
將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。
數學建模中比較重要的是，我們需要根據實際問題，適當調整，采取正確的數學建模方法，以較為準確地對實際問題發展的方向進行有據地預測，達到我們解決實際問題的目的，
在近些年，數學建模涉及到的實際問題有關于各個領域，包括病毒傳播問題、人口增長預測問題、衛星的導航跟蹤、環境質量的評價和預測等等，這些就能說明數學建模涉及領域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應的數學建模方法，采用不同的數學模型，再綜合起來分析，得出結論，這需要我們要有一定的數學基礎和掌握一些應用數學方法，以適應各種實際問題類型的研究，也應該在一些數學方法的基礎上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數學工作者的基本要求，我們對數學建模的所能達到的要求就是實現對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現其中的內在關系，體現數學建模的巨大作用。
而在對數學建模中的數據處理中，我們往往采用十類算法：
一.蒙特卡羅算法
也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。
二.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數據擬合在數學建模中常常有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系。
三.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。它尤其適用于傳統搜索方法難于解決的復雜和非線性問題，在運籌學和模糊數學中也有應用。
四.圖論算法
這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應用價值,圖論可將各種復雜的工程系統和管理問題用“圖”來描述,然后用數學方法求得最優結果，圖論是解決許多工程問題中算法設計的一種有效地數學模型,便于計算分析和計算機存儲。
五.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
動態規劃的應用極其廣泛，包括工程技術、經濟、工業生產、軍事以及自動化控制等領域，并在背包問題、生產經營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統可靠性問題等中取得了顯著的效果。回溯算法是深度優先策略的典型應用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經典問題，還有一個經典的應用場景就是迷宮問題。回溯算法是深度優先，那么分支限界法就是廣度優先的一個經典的例子。回溯法一般來說是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。
這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。
六.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
模擬退火算法的依據是固體物質退火過程和組合優化問題之間的相似性。物質在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質轉化為液態，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩定。
“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優雅——雖然生存競爭是殘酷的。 遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術指導對一個被編碼的參數空間進行高效搜索 。
神經網絡從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經元結構，它的構成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經網絡計算非數字，非精確，高度并行，并且有自學習功能。
這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用。
七 .網格算法和窮舉法
對于小數據量窮舉法就是最優秀的算法，網格算法就是連續問題的枚舉。網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
八.一些連續離散化方法
很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
九.數值分析算法
在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、 函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。
十.圖像處理法
賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。
這十類算法對于數據處理有很大的幫助，甚至從其中可以發現在它們中的很多算法都是數學某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學習，相信這對我們今后的數學學習有很大的幫助，然后，就是數學模型的類別。
常見的數學模型有離散動態模型、連續動態模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數學模型、常微分方程模型、常微分方程的數值穩定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數學模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導，我們最終都會通過實踐檢驗數學建模的正確性，加以完善和提升，在對現實對象進行建模時，人們常常對預測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產的價值或者有一種傳染病的人數。數學模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規劃未來，可以把數學模型看做一種研究特定的實際系統或者人們感興趣的行為而設計的數學結構。
例如人口增長模型：
中國是世界上人口最多的發展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經濟發展的首要因素。人口數量、 質量和年齡分布直接影響一個地區的經濟發展、資源配置、社會保障、社會穩定和城市活力。 在我國現代化進程中，必須實現人口與經濟、社會、資源、環境協調發展和可持續發展， 進一步控制人口數量，提高人口質量，改善人口結構。對此，單純的人口數量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現人口規劃的科學性。 政府部門需要更詳細、 更系統的人口分析技術，為人口發展策略的制定提供指導和依據。長期以來，對人口年齡結構的研究僅限于粗線條的定性分析， 只能預測年齡結構分布的大致范圍，無法用于分析年齡結構的具體形態。 隨著對人口規劃精準度要求的提高，通過數學方法來定量計算各種人口指數的方法日益受到重視，這就是人口控制和預測。
人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性， 適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律。灰色預測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測。
基于以上思想我們建立了灰色預測模型：
灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。
在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素， 例如出生率、死亡率、 遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算， 則可以根據年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數推算一年或多年后年齡相應增長一歲或增長多歲的人口數。在這個人口數的基礎上減去相應年齡的死亡人數， 就可以得到未來某年齡組的實際人口數。對于0 歲的新生人口， 則需要通過生育率作重新計算。當社會經濟條件變化不大時， 各年齡組死亡率比較穩定， 相應活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩定不變。 因而可以根據現有的分性別年齡組存活率推算未來各相應年齡組的人數。
通過這樣的實例就能很細致地說明數學建模的方法應用，數學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。它是將研究的某種事物系統，采用數學形式化語言把該系統的特征和數量關系，抽象出一種數學結構的方法，這種數學結構就叫數學模型。一般地，一個實際問題系統的數學模型是抽象的數學表達式，如代數方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規律， 與實際問題系統中相應特征的變化規律相符。一個實際系統的數學模型，就是對其中某些特征的變化規律作出最精煉的概括。
數學模型為人們解決現實問題提供了十分有效和足夠精確的工具， 在現實生活中， 我們經常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們為了一定的目的對原型進行的一個抽象。
隨著科學技術的快速發展，數學在自然科學、社會科學、工程技術與現代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應用， 尤其是在經濟發展方面， 數學建模也有很重要的作用。 數學模型這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數學模型的重要性。數學模型就是要用數學的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、 圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學習數學建可以掌握解決實際問題的強大武器。
參考文獻：數學建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業出版社（2014）.
數學建模常見算法范文第2篇
【關鍵詞】： 高中數學模型應用
在高中數學中，有很多章節適合用數學模型及解應用題的方法去處理，例如必修一中《函數模型及運用》，必修四中《分期付款中的有關計算》、《向量的應用》，必修三中的《算法案例》，《概率統計》等，高三數學選修Ⅱ中《楊輝三角》、《復數與平面向量、三角函數的聯系》等 ，那么在教學中對于這些章節應如何來處理呢，對待這些章節應持什么態度，教學中如何引入這些章節，這些因素是我們廣大高中數學教師要思考的內容。
一、 高中數學建模及數學應用有關內容的重要性
在以往的教學中，遇到數學模型及數學應用有關章節時我們一般都一帶而過，有的教師甚至講都不講，但從最后高考的結果看，學生在應用題大題的得分就比較低，這其中就有很大的原因在高一高二的教學，因為我們不能等到高三發現問題再去給學生補應用題及建模的相關意識，因為數學建模與應用題的解題方法是一種數學思維方式及數學修養，實際上是一種習慣，習慣的養成不是靠一天兩天就能養成及出成果的，而是要注重平時的教學培養，所有我們有必要做一個系統的安排。
我們的中學數學教學是一種“目標教學”。一方面， 我們一直想教給學生有用的數學， 但學生高中畢業后如不攻讀數學專業，就覺得數學除了高考拿分外別無它用； 另一方面，我們的“類型＋方法”的教學方式的確是提高了學生的應試“能力”，但是學生 一旦碰到陌生的題型或者聯系實際的問題卻又不會用數學的方法去解決它。大部分同學學了十二年的數學，卻沒有起碼的數學思維，更不用說用創造性的思維自己去發現問題，解決問題了。由此看來，中學數學教與學的矛盾顯得特別尖銳。
加強中學數學建模與應用的教學正是在這種教學現狀下提出來的。
二、高中數學建模及數學應用有關內容的分析及教學探討
高中數學課程標準中已明確提出數學模型與數學建模有關內容的教學要求，而且高中數學課本中也有相關的章節，例如《函數模型及運用》，教學中教師不必過分強調數學建模的模式及其步驟，著重要強調數學建模的思維方式。
（1）注重用數學模型及數學建模的思維方式去處理應用問題
我國普通高中新的數學教學大綱中也明確提出要“切實培養學生解決實際問題的能力”，要求“增強用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數學模型，然后運用數學方法進 行探索 、猜 測 、判 斷 、證 明 、運 算 、檢驗，使問題得到解決”。這些要求不僅符合數學本身發展的需要，也是社會發展的需要。因為我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識而且要提高學生的思維能力， 要培養學生自覺地運用數學知識去考慮和處理日常生活、生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質，具有探索新知識、新方法的創造性思維能力。
（2）重視新課程教學理念教學，加強背景知識導入
在新課程教學過程中，對于數學概念的提出，我們要注意其發生的過程，注意從實際的問題中引出數學的概念，例如，在介紹導數中的平均變化率的時候，教材中用了氣溫上升這個例子，生動鮮明地闡述的變化率這個概念，同時也反映出我們在這方面的實際生活中數學將有很好的運用，所以，注重數學中背景知識的導入將起到一舉兩得的教學效果。
做好數學應用題教學意識，要強化背景知識的引入，使學生的成績得到充分的提高。這一點很重要，目前的教學中，我們往往只重視數學知識的教學，而很少關注數學知識的作用，這往往影響學生學習數學知識的熱情，而且在考試中也往往影響學生的考試成績。例如，在某一年的高考題中，談到冷軋鋼的問題，數學基礎并不難，但學生對冷軋鋼的背景知識了解缺較少，導致該題無法完成。
但有的教師往往會說，我教數學，其它知識跟我有什么關系，這其實是一個誤區，背景往往是導入相關知識點的關建，背景知識有助于學生理解知識，更有利于激發學生的學習興趣。
例如，在教學必修一中《函數模型及運用》時，教師可以適當的給學生介紹數學在經濟學、物理學等方面的作用，在本節中甚至還提到了經濟學中的邊際函數，教師可以查閱相關資料，了解邊際函數的概念及重要作用，這樣可以激發學生對數學巨大作用的理解。
在教學必修四中《分期付款中的有關計算》時，教師可以用目前大家都能理解的買房按揭貸款還款作為背景，問學生如何還貸，應如何計算，作為切入點，從而可以讓學生理解數列的巨大作用。
另外，《向量的應用》，必修三中的《算法案例》，《概率統計》等，高三數學選修Ⅱ中《楊輝三角》、《復數與平面向量、三角函數的聯系》等這些章節與實際聯系也很緊密，在教學這些章節的時候也可以注重實際運用背景的運用。
（3）可用校本課程的方法系統地加強數學模型及數學應用有關章節的教學
對于數學模型與應用的相關章節，比較分散，可以開設校本課程從整體考慮，在教學中， 安排數學建模相關內容的校本課程教學。可以分三個階段。
第一階段主要培養學生對數學模型的認識及對數學思維方式的培養。
我們主要以高一學生為研究對象，在課堂教學中給學生展示數學模型，重視此類課程的教學，如《函數模型及應用》。
第二階段主要培養學生建模能力。
主要以高二學生為研究對象，教給學生數學建模的方法，例如在曲線方程的教學中，求曲線的軌跡，我們可以讓學生建立直角坐標系，根據要求寫成曲線滿足的數學條件，再進行化簡，得到曲線的方程，解答提出的問題。
第三階段是綜合提高的階段。
我們以高三學生為研究對象，綜合對學生的數學模型意識及建模能力的培養，以高考題及統測試題的應用題為模型，充分讓學生建模解模，體會數學帶給學生的能力的提高和用數學解決實際問題的快樂，讓學生體會數學的價值。
參考文獻
數學建模常見算法范文第3篇
[關鍵詞] 數學建模；國家課程標準；教學實踐
數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。
一、常規課堂教學中的數學建模教學
廣義地說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、方程式和算法系統都可以稱為數學模形。如“橢圓的方程及圖象”就是一個數學模型，“用‘二分法’求方程的一個近似解”也是一個數學模型。針對學生在數學建模中不會對實際問題進行抽象、簡化、假設變量和參數，形成明確的數學框架的困難，我們在常規的數學課堂教學中，有意識地選擇合適的教學內容，模仿實際問題中建立數學模型的過程，來處理教材中常規的學習內容，從而為學生由實際問題來建立模型奠定基礎。
譬如，對于二面角內容的教學，在學生原有生活經歷中，有水壩面和水平面成適當的角的印象；有半開著的門與墻面形成角的印象，那么我們在讓學生形成二面角的概念時，應當從學生已有的這些認識中，舍棄具體的水壩、門等對象，而抽象出“從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角”，在這里，半平面是相對于水壩攔水面、門等的具體對象而進行合理假設得到的理想化對象，而在進一步研究如何度量一個二面角的大小時，我們是讓學生提出各種方案，然后通過討論、比較各方案所定義的幾何量對給定的二面角是不是不變量，同時又簡潔表達了二面角中兩個半平面閉合程度的大小。以上關于二面角的概念及其度量方法的教學過程，實際上就是建立數學模型并研究模型的過程。建立數學模型實質就是化抽象為具體。就像上文所說，把生活中的常識轉化為原理。在常規的曰常課堂教學中，完全可以選定適當內容，創設出數學建模的教學情景來處理教學內容，從而為學生真正面對實際問題來建立模型、研究模型創造條件，這樣更有利于學生們對事物的理解。
二、教師提供問題的數學建模教學
教師提供問題的數學建模，基本上同目前開展的大學生、中學生數學建模競賽中需要完成的建模任務相同。這種形式的數學建模學生不需要自己選定實際問題研究，而是由教師選定適合于學生水平的實際問題呈現給學生，在教師的啟發、引導下，學生小組通過討論，自己完成模型選擇和建立、計算、驗證等過程，最后用小論文的形式呈現自己的研究成果，這種形式的數學建模學生已真正接觸到實際問題，并經歷建模的全過程。
經過了曰常課堂教學中的數學建模教學，學生對什么是數學建模已有了一定的認識，并已經歷了由具體問題抽象出明確數學框架的鍛練，因此，我們在這種形式的數學建模教學中，主要是加強以下幾個方面的教學。
1.提供的實際問題必須難易適度，應當適合于學生的認知水平。對于較難的問題，我們往往給出必要提示，如啟發學生通過提出合符常理的假設來將復雜的問題化為可以建模的問題；通過提示學生設定相關變量來達到使模型容易建立等。
教師可從選定的實際問題、模型假設、變量設定等方面來控制難度，其中模型假設和變量設定是直接影響到模型建立的關鍵因素，對此關鍵點教師沒計適當的教學形式，是“教師給定問題型”建模教學的關鍵。
2.在“教師給定問題型”的數學建模的實踐中，學生將經歷建模的全過程，其中在模型的求解這一環節，往往需要借助計算機選擇一個合適的數學軟件平合，通過數學實驗來求解模型。我校近年來，對這一環節的教學比較重視，每年都對將參加上海市中學生數學建模夏令營的學生團隊進行數學軟件Matlab的使用輔導，通過使學生精通一種軟件的使用，再介紹學生自己鉆研其它幾種數學軟件的使用，從而為學生正確求出模型的解，鋪平了道路。
3.在近五年對學生的輔導過程中，我們感到以下一些問題可用來訓練學生的數學建模能力，它們是：（1）路橋問題，（2）限定區域的駕駛問題，（3）交通信號燈管理問題，（4）球的內接多面體問題，（5）螺旋線問題，（6）最短路問題，（7）最小連接問題，（8）選址問題，（9）面包進貨問題等。
4.在“教師給定問題型”的數學建模實踐中，學生的研究結果，必須會用論文進行表達，會表達自己的研究思路及結果，是一個學生綜合素質的體現。由于數學建模論文的撰寫有一定的格式要求，當然這種格式要求是為了更好地使作者展現自己的研究結果，也是對論文質量的保證。
三、學生自選問題的數學建模教學
數學建模常見算法范文第4篇
關鍵詞：車輛路徑；數學模型；多目標優化
0 引言
近年來，隨著電子商務和社會智能交通的不斷發展，人們生活的方方面面都有物流的支撐， 配送作為物流系統中一項重要的活動，其作用已經越來越重要，從運輸、倉儲、配送等過程中，將產品或信息傳送到指定的顧客位置，是配送的主要功能和屬性。對VRP問題進行研究能夠提高物流企業的配送水平，對公司而言顯得尤其突出和重要。
1 車輛路徑問題
1959年Dantzig提出了車輛路徑問題（VRP）[1]。車輛路徑問題（VRP）問題中的旅行商問題（TSP）被學者Gaery[2]在其論文中證明旅行商問題是一個NP難題，故VRP問題也是一個NP難題。NP難題不光在理論研究上有很大意義，在現實生活中的意義也十分顯著，在車輛路徑優化問題上就得到印證。車輛路徑問題主要是指在某一區域內存在需要貨物的客戶要從配送中心得到貨物補充，客戶的貨物由配送中心統一配送，由車隊進行配送負責貨物，通過合理的安排車輛路徑線路，以保證在一定的約束條件下，做到諸如成本小，時間耗費少和路程短等目的完整路線規劃問題，見圖1所示。
車輛進行配送過程中，是以車輛的載重為計算衡量，其成本計算為載重量乘以路線距離。常見的優化目標就是總路線長度的最短，節約物流公司和客戶的時間，節省大量成本，盡可能地降低車輛成本是保證物流公司提高運營效率，盡量地使總成本最低，以保證運營的正常運作。
2 車輛路徑問題的算法
當客戶量少的時候，我們可以選取一些精確算法進行求解。精確算法是指最優解可以通過推理和數學計算得到答案的一種求解算法[3]。當客戶數量的龐大，物流配送網絡也就越大，我們需要選擇人工智能算法來解決此類問題。以下為幾個比較常見的人工智能算法[4]。
（1）Clarke-Wright算法、
該算法的核心思想是：依次將路線中的兩個閉合線路整合成一個線路，合并結果是大幅度減少了線路的總運輸距離，最后當滿足車輛載重情況后，再進行下一輛車的類似的優化。但到的解往往不是最優解，需要與其他算法結合使用。
（2）Sweep算法。
該算法的核心思想是：首先要計算出需要遍歷客戶點的極坐標，隨后對極坐標的大小進行排序。在滿足可行約束條件下，把不同的角度大小和子路經歸并在一起，再通過VRP的優化算法對得到的子路徑進行處理優化。
（3）遺傳算法
該算法的核心思想是：從需要優化的一組可行解中開始，照達爾文進化論的優勝劣汰原則，對選擇出的一組可行解進行進化以便產生越來越好的一個解。通過不斷進化，得到的解更可以接近于最優解分布。
3 車輛路徑問題建模
針對車輛路徑優化目標，本文主要從保證多個配送中心（DC）服務多個客戶（DS）時，確定最小車輛數目m，并確定最短路徑長度，以便于滿足總的配送成本最低。目標函數如下：
minC=■■c■D■x■ （1）
其中，c表示客戶點之間距離運輸成本；D■表示的是從客戶點i到客戶點j的距離；x■是0-1變量，含義為，當車輛從i到j時，x■=1。否則，x■=0；下標集K=1，2，…，k為第k個DC，I=1，2，…，i和J=1，2，…，j分別為第i和j個DS，而且R=I+J。約束條件如下：
N≤n （2）
■x■=■x■，i∈R，j∈R，且i≠j （3）
■x■=■x■，k∈K （4）
■x■w■-d■≥0 （5）
w■表示訪問客戶之前載重，d■是指客戶點j的貨物量；
■x■w■-d■=■x■w■，k∈K（6）
■D■≤D■ （7）
xij∈0，1 （8）
以上的數學建模的各個含義為：約束（2）表示運行車輛數目不能大于車輛數目的總和；約束（3）表示訪問配送中心的車是同一輛；約束（4）表示訪問客戶點的車是同一輛；約束（5）表示車輛不可空載；約束（6）表示客戶得到滿足；約束（7）表示車輛的最遠駕駛距離不能超過規定距離 ；約束（8）表示一個0-1變量。
4 模型的優化算法
本文使用上面介紹的遺傳算法進行模型優化。下面我們給出遺傳算法的步驟：
（1）選取初始種群規模：確定合適的種群規模是我們使用遺傳算法首要問題。種群規模越大，反而不容易陷入局部最優解，其結果是搜索時間會加長。為了確定初始種群規模，通過窮舉法來求取最優解的區間。
（2）為得到適應度函數，使用自然編碼法。首先運用自然數編碼法，產生初始可行解。
（3）更新種群。更新種群是從上步可行解中，選擇適應度大，條件好的個體進行交叉、變異，產生新的解的過程。第一，交叉的核心意義在于，繼承父代的優良基因，來提高個體的適應度。第二，我們采用隨機多次對換的方式，依據一定的變異概率來決定生成的兩個個體是否需要進行變異。
（4）操作完成之后，我們將得到的種群進行適應度的排列，保證了下一次算法進化的實現。
5 結論
本本文是針對車輛路徑的問題研究。第一分析了車輛路徑問題的定義，第二針對有關算法進行描述，最后進行建模和算法優化。近年來隨著社會智能交通的興起，電子商務不斷發展，中國現代物流業進入了高速發展時期，要求我們不斷對VRP模型和算法要做進一步的研究。
參考文獻：
[1]祝崇俊，劉民，吳澄.供應鏈中車輛路徑問題的研究進展及前景.計算機集成制造系統CIMS[J].2001，7（11）：1-6.
數學建模常見算法范文第5篇
【關鍵詞】新課改 數學模型 中學數學建模教學
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0118-03
一 中學數學建模概述
1.數學模型的定義及分類
根據全國科學技術名詞審定委員會的審定公布，我們把數學模型定義為：數學模型是把對研究對象觀察到的一系列結果和實踐經驗，總結成一套能反映其內部因素數量關系的數學公式、邏輯準則和相關算法。這些公式、準則和算法是拿來描述和研究客觀現象的規律。
我們根據不同的分類方式，把數學模型分成很多種，常見的一些種類有：（1）數學模型根據模型應用的領域不同，可以劃分為人口模型、交通模型、污染模型等。（2）數學模型根據建立模型的數學方法不同，可以劃分為數學模型、幾何模型、微分方程模型等。目前，我國大多數的教學用書中提到的數學建模的分類編排都是按照上面的標準來進行的。（3）數學模型根據表現特性的不同，考慮到數學模型中是否受到隨機變量的影響，把數學模型分為確定性模型和隨機性模型。進入21世紀以后，由于數學研究和數學模型在廣度和深度的不斷發展，近幾年來還出現了突變性模型和模糊性模型、靜態模型和動態模型、線性模型及非線性模型等。（4）根據數學模型建模目的的不同，分為描述模型、預報模型、優化模型、控制模型等。
2.中學數學建模教學概述
數學建模教學主要是針對過去中學數學教育內容過于抽象化，對數學知識和學生實際日常生活的聯系不緊密問題而提出的。數學建模要求學生對日常生活和社會中遇到的實際問題先進行抽象化，然后建立數學模型，最后求解得出最優模型。即建模、解模的過程，如圖1所示。
圖1
二 中學數學建模教學
1.建模問題的合理性
考慮到中學階段學生的知識水平有限和中學數學的教學大綱規定，我們把中學數學建模教學的主要內容進行恰當的調整。首先，應當適當縮小中學數學建模教學的選題范圍，通常我們考慮的是函數（構建函數關系）、不等式組、數列、幾何和求最值等幾個方面。其次，在教學方法上也力求通過計算機技術輔助教學，增強其新穎性和趣味性。
2.中學數學建模教學常用的方法
第一，理論分析法。這是一種在中學數學建模教學中經常用到的方法。它具體是指：（1）對所要建立模型的問題各種變量與常量進行分析和界定范圍；（2）運用我們已經公認的，如數學、物理等學科中被普遍證明的原理、定理和推論，建立合理的數學模型；（3）利用數學理論推導問題的解決方法。
第二，模擬法。這是一種在現實中通過對模擬的數學模型進行反復試驗，從而達到解決問題的目的。構建模擬的數學模型，就是要運用數學知識找到一種結構和性質與建模問題主要結構和性質相同的模型。如報童賣報問題就可以用隨機模擬思想解決。
第三，函數擬合法。這是一種在處理離散型數據時使用最多的方法。（1）我們依據題目所給出的初始數據，在直角坐標系上描出相對應的各個點；（2）依據各個點的分布情況，用圓滑的曲線描繪出大致圖形；（3）根據圖像大致擬合成相應的直線或圓錐曲線，并通過相應的關鍵點求解出此圖像的函數關系式，這就是所要建立起來的數學模型。如我們通過一次函數、二次函數、指數函數、冪函數擬合某個工廠產量、某件產品的銷量、人口增長率等，解決日常生產生活中的問題。
三 中學數學建模教學的教學方式
1.立足教材基本知識點，培養學生的趣味
由于我國的數學教材普遍存在知識理論性強，但缺乏在實際生活中的可運用性。很多學生甚至家長認為只要不是想成為數學家，離開校園工作后，數學僅僅拿來會上街買菜算賬就夠了。于是，大多數學生都是為了成績而學數學，根本不知道數學可以提高自己日后的管理能力和問題的解決能力。
在提倡素質教育的今天，我們可以通過多種方式提高學生對數學問題的興趣。如改變設問方式、變換題設條件，把教材中出現的應用問題拓寬成新的數學建模應用問題。對于教材中的一些純理論數學問題，我們可以從科學性、現實性、新穎性、趣味性、可行性等原則出發，編制出一套有一定實際背景或應用價值的數學建模問題。按照以上的方式組織教學活動，能大大地培養起學生對數學知識的應用能力。
如在講授高中數學必修5第一章等比數列，等比數列求和公式及應用這一節課時，教師向學生講述這樣一個實例。
教師：傳說在古代印度有這樣一個國王很喜歡下象棋。某天，一位棋藝很高超的棋手和國王對弈，國王得意洋洋地說：“如果你贏了我，你的任何要求我都會滿足。”經過一番搏殺，國王輸了。棋手慢慢地說道：“陛下只需要派人用麥粒填滿象棋棋盤上的空格，第1格1粒，第2格2粒……以后每格是前一格粒數的2倍。”國王笑著說道：“這個獎勵太容易辦到了。”于是，他立即命令下面的官員辦理。過了數天，官員慌張地報告國王：“大事不好了，如果這樣下去，印度近幾十年生產的所有麥子加起來都還不夠。”
學生個個都露出了詫異的表情。通過這個例子，極大地調動了學生探究問題的積極性，紛紛在課堂上討論起來。老師抓住時機引導學生求1+2+4+…+271，即和學生一起推導出等比數列求和公式。學生計算出麥子的總粒數為272-1粒，這的確是一個相當大的數。
數學應該是有趣的，也應該是有用的，最后也必然是能有效解決實際問題的。
2.立足生活問題，強化學生的應用意識
“學以致用”，應用問題來源于日常生活中大大小小的事情，通過建立中學數學模型，我們可以解決現實生活中的很多問題。如解決上班族合理負擔出租車資、十字路口紅綠燈的設計、蟻族住房問題、鉛球投擲等問題。
如在木料加工廠，師傅們要把一根直徑為200mm的圓木加工成矩形截面的柱子，請問怎樣鋸才能使廢棄的木料最少？
思路分析：這是一個簡單的
生活實際問題，要從數學理論上
來解決。首先要把這個問題抽象
成一個純幾何問題。問題的核心
就是要使廢棄的木料最少。轉化
成數學語言就是使柱子的截面積
最大。這其實就是一個求最大值
問題。所以，問題就可抽象為求內接于直徑為d的已知圓O的最大矩形面積（如圖2所示）。
考察圓木的橫截面可建立模型：設圓的直徑為d，這個圓的內接矩形的面積為S，其中一條邊AB的長為x，而另一
條邊長為y，且y= ，問題轉化為求x為何值時，S
值最大。利用重要不等式或一元二次函數求得，當x= 時，
即d=100 ，廢料最少。
通過上面的例題，說明我們緊密聯系教材內容，可以引導學生思考日常生活中的數學問題。在課堂教學中，這種方式不僅能加深基本知識的理解和運用，同時還會增強學生應用數學的信心，讓中學生獲得必要的解決問題的能力。
3.立足社會熱點問題，介紹建模方法
隨著經濟的發展，中學數學建模問題可以把國家發生的大事和熱點、市場經濟中的利潤和成本、個人的儲蓄和消費、公司的投標計劃等作為材料。我們可以對這些材料進行篩選，找到與教材的合理切入點，把材料融入到課堂教學活動中。生動有趣的問題不僅可以激發學生建立模型的靈感和樹立正確的價值觀，還可以為日后積極主動地運用數學建模思維提供能力上的準備。
如1998年7月26日，廣州至重慶高速公路廣安段指揮中心接到電話預報，24小時后將有一場百年一遇的大暴雨。為了保證高速公路無險情，指揮中心決定在23小時內筑好一道防洪堤壩。這道堤壩可以用來防止正在施工的華鎣山隧道主體工程遭到山洪的損毀。經過防洪專家估算，這道堤壩的建造任務除了需要現有人員全體參戰外，還要調來20輛大型翻斗車同時工作23小時。由于事出突然，只有一輛車可以立即投入使用，其余的翻斗車必須從重慶各地緊急調來。經過協調，每20分鐘能有一輛翻斗車到達工地施工。已知指揮中心最多可以調來26輛翻斗車到工地，請問23小時內能不能完成建好防洪堤壩的任務？并說明理由。
第一步：弄清題意。必須讀懂題意，知道整道題說的是怎樣一個問題。
第二步：聯系知識點。學生需要把問題情景中的文字語言轉化為數學的符號語言，然后用數學公式最好是函數表達式來確定數量關系。同時，還要根據這道題的題眼來明確所涉及的知識點。
第三步：建好數學模型。首先，在明確好了自變量和因變量的關系后，學生對已有的數學理論知識進行分析和歸納，構建起問題相對應的數學模型，從而完成生活實際問題向數學關系表達式的轉化。其次，在答題過程中需要嚴謹的思維過程和比較扎實的計算能力。這樣，才能又快又準地解決問題。
于是我們有了這樣的答題思路：首先，弄清題意。通過讀懂題意和深刻理解題意兩個方面，后者把“問題情景”轉化為數學符號語言。于是，學生找到目標函數與約束條件的主要關系：翻斗車的工程量之和要大于或者等于要完成的工程總量20×23（車每小時）。其次，建立模型。把要完成防洪堤壩的主要關系模擬化、抽象成數學函數或不等式。即假設從第一輛翻斗車開始施工算起，各輛翻斗車的工作時間分別為a1，a2，……a25，a26小時，由題意可得，這些數組成一個公差為d=-1/12（小時）的等差數列，且a≤23。最后，求解最優值。把完成堤壩修筑任務轉化為一般的等差數列求和問題，根據不等式來確定答案范圍。
本例題是我們在高一下學期學習了等差數列求和公式和不等式知識后，結合正在修建的廣渝高速公路重點工程和1998年的抗洪斗爭背景編寫的。這個例子不僅能使學生體會到數學建構思維，也讓學生受到德育的熏陶，展示了數學在中學生社會化方面的影響。
4.立足實踐，培養應用意識和建模能力
如隨著經濟的發展，某人也想提高自己的生活居住水平。日前，他想在廣安市城里購買一套商品房，價格為38萬元，首次付款10萬元后，其余的款額20年按月分期付款，月利率為0.39%（公積金利率）。他希望到中國農業銀行去了解一下，如果他辦理商業性個人住房貸款（月利率為0.62%），請你幫他算算每月應付款多少元？用上面兩種方法算算20年總共還了多少錢？（方法省略）
中華文化博大精深，游戲中也有豐富的素材，如魔方、九連環、優化骰子等，教師還可以結合教材內容提出新的游戲規則，讓學生在做游戲的過程中學到知識、學會方法和理解數學思想，從中引導學生構建數學模型。由此可見，豐富的游戲對青少年數學潛力的開發影響很大。
進入21世紀以后，新課改的一個重要目標就是要在教學中不斷加強綜合性、應用性內容，重視聯系學生的生活實際和社會實踐，突出理論與知識相結合，引導學生關心社會，關心未來。因此，在教學中重視和加強數學建模的教學和應用尤為重要，是數學教學的突破口和出發點。
參考文獻
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