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三角函數(shù)值規(guī)律范文第1篇

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式；教學(xué)探討

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）14-0283-02

目前我國(guó)正在大力地發(fā)展職業(yè)教育，職業(yè)教育的價(jià)值不僅表現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)和諧作做出了貢獻(xiàn)，而且在促進(jìn)社會(huì)就業(yè)、個(gè)人發(fā)展方面做出了貢獻(xiàn).數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、分析推理能力有著不可代替的重要作用，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)專業(yè)技能知識(shí)的重要工具.三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也可以說是幾乎所有高科技的基礎(chǔ)，它是基本初等函數(shù)中的一種，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都有著重要的不容忽視的核心地位與重要作用.

中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式這節(jié)內(nèi)容，在三角函數(shù)部分具有非常重要的地位.學(xué)生能夠掌握并正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式，對(duì)解決三角函數(shù)有關(guān)問題會(huì)起到事半功倍的作用.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的重要公式，然而三角函數(shù)誘導(dǎo)公式多而復(fù)雜，利用傳統(tǒng)誘導(dǎo)公式求解相應(yīng)的三角函數(shù)，步驟多且難以理解.如何解決這一難題？筆者在多年的教學(xué)中總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行拓展，化難為易，以適應(yīng)中職生的學(xué)習(xí)需求.下面筆者就多年來的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合中職學(xué)生的具體實(shí)際，談一談?wù)T導(dǎo)公式教與學(xué)的一些做法，以期為其他同行教師提供一些參考.

中職數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式共有2kπ+α，-α（或2π-α），π+α及π-α四套公式.利用公式的目的就是要把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值.以往學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)最大的困惑是記不住公式和不會(huì)運(yùn)用公式.現(xiàn)就以上問題和大家一起探討我在上課時(shí)不太成熟的解決問題方法.

一、推導(dǎo)公式

中職教材公式的推導(dǎo)方法學(xué)生不易理解，即使聽懂了，學(xué)生也記不住.我在教學(xué)誘導(dǎo)公式時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生觀察上述四套公式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)幾套公式中，都與2π或π有關(guān)，化簡(jiǎn)后三角函數(shù)名稱都不變，符號(hào)有的改變，有的沒變.然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值“三角函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限”的口訣.這里如何確定角的象限至關(guān)重要.例如：π+α這套公式，先設(shè)α為銳角，則π+α為第三象限的角，第三象限角的正弦值為負(fù)，故sin（π+α）=-sinα；同理，第三象限角的余弦為負(fù)，故cos（π+α）=-cosα；第三象限角的正切為正，故tan（π+α）=tanα.這樣學(xué)生只要記住不同象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)情況，自己就能輕松推導(dǎo)出公式.不同象限角的各種三角函數(shù)值的正負(fù)口訣是：“一全正、二正弦、三為切、四正弦.”

學(xué)生推導(dǎo)完公式之后，讓他們和教材公式對(duì)照比較，發(fā)現(xiàn)完全正確，他們一定會(huì)有一種成就感.這時(shí)教師不失時(shí)機(jī)地強(qiáng)調(diào)，當(dāng)角α為任意角時(shí)，上述公式照樣適用.通過以上的方法教與學(xué)，學(xué)生能夠非常順暢地掌握公式.即使課后學(xué)生忘記了，自己也能輕易地推導(dǎo)出來.這樣，在課堂上就能節(jié)省大量時(shí)間.原來需要四節(jié)課才能講完的內(nèi)容，兩節(jié)課就能講完，并且效果還好.這樣也極大地增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

二、運(yùn)用公式

我們?cè)诮虒W(xué)過程中教給學(xué)生掌握公式固然重要，但讓學(xué)生會(huì)正確地使用公式更重要.不會(huì)使用公式從理論上說等于零.就像士兵一樣，擁有了先進(jìn)的，強(qiáng)大的武器裝備，但不了解其性能，不會(huì)使用它，一點(diǎn)用都沒用.我們?cè)诮虒W(xué)中遇到問題最多的是：學(xué)生經(jīng)常問老師這些公式怎么用.所以教師教會(huì)學(xué)生如何正確使用公式至關(guān)重要.

三、課后思考

師者，所以傳道授業(yè)解惑也.授之魚不如授之以漁.教師不但要善于傳授知識(shí)，還要能夠幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律性的東西，并且運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題.要正確引導(dǎo)學(xué)生善于觀察問題、分析問題，進(jìn)而解決問題.我在講授三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，沒有利用單位圓和對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)，那樣講對(duì)于職業(yè)學(xué)校基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說太難了.而我通過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式知識(shí)的教與學(xué)，是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種數(shù)學(xué)思想，那就是不完全歸納法的具體運(yùn)用.它和學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式一樣，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，利用不完全歸納法非常自然地歸納出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.我們推導(dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，先設(shè)角α為銳角，利用不同象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生毫無費(fèi)力地推導(dǎo)出每個(gè)公式，最后讓學(xué)生明白當(dāng)角α為任意角時(shí)照樣適用.在這樣的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，學(xué)生就能自主輕松地推導(dǎo)公式，掌握公式，達(dá)到事半功倍的效果.從而突破了本節(jié)課的難點(diǎn)，為順利求出各種形式的角的三角函數(shù)值打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在求任意角三角函數(shù)值時(shí)，教師也要引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析每一套公式的特點(diǎn)和使用的條件，讓學(xué)生做到有的放失，少走彎路，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，很自然地學(xué)會(huì)利用哪個(gè)公式求值了.

總之，教師上好每一節(jié)課，不是簡(jiǎn)單地傳授知識(shí)，而是要注重引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律.讓學(xué)生更好地運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題，從而搞好我們的教學(xué)工作.這樣也能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)工具科的作用，更好地為專業(yè)課教學(xué)服務(wù)，提高學(xué)生的文化素質(zhì)和專業(yè)技術(shù)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2]覃桂燕.幾何畫板在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，（01）.

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[4]陳潔.對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010，（05）.

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三角函數(shù)值規(guī)律范文第2篇

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；問題；教學(xué)策略

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，認(rèn)真研究教學(xué)中存在的困難，采取有針對(duì)性的教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生更好地感知理解知識(shí)、培養(yǎng)能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展進(jìn)步.新課改背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要充分參照考試標(biāo)準(zhǔn)，制定有科學(xué)合理的教學(xué)計(jì)劃，提高教學(xué)效率和質(zhì)量.

一、高中學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的常見問題分析

高中學(xué)生感到學(xué)習(xí)三角函數(shù)很困難，一方面是高中三角函數(shù)與初殊的三角函數(shù)相比難度更大，靈活性更強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的思維能力要求更好；另一方面是學(xué)生的學(xué)習(xí)本身存在的問題.首先是對(duì)概念理解和掌握不夠深入全面，沒有形成基本的推理能力.學(xué)生因?yàn)閷?duì)概念把握不夠準(zhǔn)確，對(duì)內(nèi)涵理解不夠深入，也就不能形成較強(qiáng)的推理能力.其次，學(xué)生不能準(zhǔn)確把握三角函數(shù)公式的變形規(guī)律，三角函數(shù)各種公式之間有著非常密切的聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化非常頻繁且較為復(fù)雜，需要理解概念和公式的內(nèi)涵，又需要具有一定的思辨能力.三角函數(shù)具有典型的周期性、凸凹性以及單調(diào)性等特征，很多的三角函數(shù)值計(jì)算起來非常困難，學(xué)生想要獲取完整的三角函數(shù)圖像感到非常困難.再次，對(duì)于很多高中學(xué)生來說，學(xué)習(xí)三角函數(shù)需要較強(qiáng)的綜合能力，但是，不少學(xué)生的綜合能力還有待逐步提升.學(xué)習(xí)三角函數(shù)需要對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合進(jìn)而建立系統(tǒng)的聯(lián)系，由于三角函數(shù)的公式繁多且富于變化，很多學(xué)生感到綜合起來非常凌亂，很容易亂頭緒.這就要求教師針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)和難點(diǎn)，采取相應(yīng)的策略和措施幫助學(xué)生更好地理解概念，熟悉公式，培養(yǎng)綜合能力.

二、提升高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)效率的策略分析

1.注重學(xué)生思維能力訓(xùn)練，提升概念理解能力和抽象概括能力

初中數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的基本運(yùn)算能力，高中數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)他們的思維能力，學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)需要較強(qiáng)的思維能力.三角函數(shù)教學(xué)需要從培養(yǎng)學(xué)生思維能力入手，提高他們對(duì)概念的理解能力，增強(qiáng)他們的抽象概括能力.剛開始教學(xué)教師需要從直覺形象思維訓(xùn)練開始，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的概念，不斷增強(qiáng)他們對(duì)概念的理解能力，逐步提升他們的抽象分析概括能力.

例如，已知函數(shù)f（x）=sintxsintx+costxcostx-cost2x對(duì)所有的實(shí)數(shù)x恒為常數(shù)，求正整數(shù)t的值.

對(duì)學(xué)生進(jìn)行直覺思維訓(xùn)練：由于矛盾的普遍性寓于特殊性之中，對(duì)于任意的x的值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為相同的常數(shù)

根據(jù)矛盾特殊性和普遍性的關(guān)系來尋求能夠使f（x）為常數(shù)的必要條件，再證明這個(gè)條件也是充分條件，通過這種直覺引路、分析鋪路的思維方式，幫助學(xué)生更好地訓(xùn)練思維.

2.注重整體系統(tǒng)化教學(xué)，將三角函數(shù)教學(xué)融入到函數(shù)教學(xué)中去

依照新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的高中數(shù)學(xué)教材較為科學(xué)，系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng)，并且對(duì)學(xué)生能力的要求也是呈現(xiàn)螺旋式上升，而非一次升頂.數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系非常緊密，三角函數(shù)與高中一般函數(shù)聯(lián)系也非常緊密，教學(xué)三角函數(shù)一定要有一個(gè)整體概念，不能為教三角函數(shù)而教三角函數(shù)，而是應(yīng)具有全局和整體思維，將其融入到更大的知識(shí)體系中去能夠讓學(xué)生有更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，也能夠更為全面系統(tǒng)靈活地學(xué)習(xí)三角函數(shù).因此，數(shù)學(xué)教師一定要注重教學(xué)方式的多樣化，充分考慮學(xué)生的接受認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，依照新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)函數(shù)教學(xué)，讓學(xué)生全面掌握三角函數(shù)的概念和知識(shí)，提高他們的解決問題能力.

3.注重實(shí)踐練習(xí)，強(qiáng)化反省抽象與綜合訓(xùn)練

高中三角函數(shù)教學(xué)需要重視學(xué)生的反省抽象能力訓(xùn)練，以綜合訓(xùn)練的方式既符合高中數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，又能夠促進(jìn)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力提升.例如，在三角函數(shù)教學(xué)中，讓學(xué)生能夠?qū)⒑瘮?shù)當(dāng)做整體概念認(rèn)識(shí)，比如，三角函數(shù)sin，不能將其看作是一個(gè)符號(hào)，這樣才能真正理解三角函數(shù)概念，才能強(qiáng)化學(xué)生的感悟能力，幫助學(xué)生更好地訓(xùn)練做題，為以后的公式推導(dǎo)和各種變形奠定基礎(chǔ).

總之，三角函數(shù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)會(huì)三角函數(shù)對(duì)于學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用非常重要，高中數(shù)學(xué)教學(xué)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生實(shí)際和教學(xué)規(guī)律，研究學(xué)生學(xué)習(xí)存在的問題，選擇合適的教學(xué)策略，提高他們的理解感悟能力，提高教學(xué)效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

【參考文獻(xiàn)】

三角函數(shù)值規(guī)律范文第3篇

【關(guān)鍵詞】 平方關(guān)系 切割化弦 輔助角

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1674-4772（2013）03-023-01

一、 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的疑問解答

1. 如何已知任意角的一個(gè)函數(shù)值求其他幾個(gè)函數(shù)值？

利用周角三角函數(shù)關(guān)生系求值，主要涉及三類問題：①定值定象限問題，這種問題求解三角函數(shù)值，只有一組結(jié)果；②定值不定象限問題，這種問題求解三角函數(shù)值，有兩組結(jié)果；③不定值不定象限問題，這種問題求解三角函數(shù)值，需按象限角與軸線角進(jìn)行討論，從形式上看其結(jié)果有兩組。

2. 如何利用同角三角函數(shù)關(guān)系來求值，化簡(jiǎn)與證明？

在計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)時(shí)，常用的技巧有：減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切；多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的運(yùn)用，如因式分解等；條件與結(jié)論的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函數(shù)式的應(yīng)用。

3. 何時(shí)使用“平方關(guān)系”的代換解決同角三角函數(shù)問題？

一般來說，當(dāng)題中條件有正弦與余弦平方式的求值、化簡(jiǎn)或證明時(shí)，或者待求的參數(shù)值是通過同角的正弦與余弦來表示，常考慮通過平方，創(chuàng)造條件。比如，在條件中即出現(xiàn)了sinα+cosα又出現(xiàn)了sinαcosα，則需要考慮將進(jìn)行平方利用平方關(guān)系。

4. 何時(shí)進(jìn)行切與弦的轉(zhuǎn)化？

通常在同一個(gè)條件關(guān)系中，即出現(xiàn)了正弦與余弦，又出現(xiàn)了正切（余切），要求值或證明相關(guān)命題，往往可考慮將弦化為切或?qū)⑶修D(zhuǎn)化為弦的形式，何時(shí)將弦化為切，何時(shí)將切化為弦，要視具體的題目而定。

二、兩角和與差的三角函數(shù)

1. 如何推導(dǎo)兩角差的余弦公式，其他公式是如何由此演變出來的？

首先運(yùn)用向量的方法對(duì)公式C（α-β）進(jìn)行推導(dǎo)，通過兩個(gè)向量數(shù)量積的非坐標(biāo)表達(dá)式和坐標(biāo)表達(dá)式相等得到。對(duì)于其它公式的推導(dǎo)，則使用代換思想及誘導(dǎo)公式進(jìn)行推導(dǎo)。比如，在C（α-β）用-β代換β得到C（α+β）；而公式S（α+β）的推導(dǎo)應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式，再借助C（α-β）公式即可推出，即：sin（α+β）=cos（■-α-β）=cos（■-α）cosβ+sin（■-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；公式T（α+β） 的推導(dǎo)應(yīng)用了弦化切的思想，但要注意結(jié)果應(yīng)使用tanα、tanβ及使其和與差角的正切有意義的角范圍。

2. 利用兩角和與差的三角函數(shù)公式應(yīng)注意哪些問題？

（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式；（2）注意分角、并角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運(yùn)用公式；（3）注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，其別要注意的是“1”的代換。

3. 角度變換常用的思路有哪些？

在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明中，常要根據(jù)已知角與目標(biāo)角之間的顯性或隱性的關(guān)系，通過角度變換，利用誘導(dǎo)公式或兩角和與差的公式，來尋找解題捷徑，從而把未知變成已知，使問題得到合理的解決。

4. 什么是輔助角公式？

遇到形如asinα+bcosα的代數(shù)式，常需引入輔助角φ，將asinα+bcosα利用兩角和與差的正弦公式化為：asinα+bcosα=■sin（α+φ）（其中φ角所在的象限由a、b的符號(hào)確定，φ角的值由tanφ=■確定）。特別地，當(dāng)a=b=1時(shí)，有sinα+cosα=■sin（α+■）。

5. 在求角或證明時(shí)，已知條件中的角與待求或待證的角如何相互表示？

在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證明的題型中，常要根據(jù)函數(shù)名與角度的差異進(jìn)行角度變換。若將已知三角函數(shù)值或相關(guān)等式中的角稱為條件角，而將待求的目標(biāo)函數(shù)中的角稱為目標(biāo)角，則這兩種角何時(shí)用哪個(gè)角表示另一個(gè)角，在不同的題型中是有所區(qū)別的。

6. 如何求非特殊角的三角函數(shù)值？

非特殊角的求值難度比較大，對(duì)我們熟練掌握公式并靈活運(yùn)用的要求比較高。一般來說，要依據(jù)題中非特殊角之間的聯(lián)系與差異，利用兩角和與差公式求解。本著三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)是“由角到值”，也就是先利用運(yùn)算關(guān)系變出所需角，再運(yùn)用和差角求解。

三角函數(shù)值規(guī)律范文第4篇

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)概念；困惑；折扣率；投影定義法

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位與作用. 因此，學(xué)生深刻理解三角函數(shù)的概念尤為關(guān)鍵.在初中，定義了銳角三角函數(shù).到高中，一般來說有“單位圓定義法”和“終邊定義法”兩種定義（蘇教版用“終邊定義法”引入三角函數(shù)，而人教版則用“單位圓定義法”引入三角函數(shù)）.教材中不管采用哪種定義，實(shí)踐證明，教師在教學(xué)中有很多的疑惑和糾結(jié).

背景

來自一線從教多年的教師（四位高中教師和二位初中教師）與數(shù)學(xué)教育專家張奠宙教授一起，對(duì)三角概念進(jìn)行了有益的探索與討論.

1. 一線教師的困惑

偶偉國(guó)（蘇州太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)）：在直角三角形中，銳角的正弦是對(duì)邊與斜邊的比值. 高中從銳角推廣到任意角的三角函數(shù)，銳角放到第一象限，學(xué)生可以解釋和理解，如果角推廣到鈍角甚至到任意角就很難用“正弦是對(duì)邊與斜邊的比值”來說明和解釋. 近日，聽了一節(jié)《任意角三角函數(shù)概念》省級(jí)公開課，教師請(qǐng)學(xué)生先操作，再探究與討論. 第一象限可以用類比的方法，終邊上任意一點(diǎn)，利用兩個(gè)三角形相似、比值不變性定義三角函數(shù). 至于推廣到任意角三角函數(shù)，沒有探究出“所以然”. 只說是類比，那怎么類比呢？講不通道不明，就一筆帶過，弄得學(xué)生不明不白，一頭霧水.

2.?搖 張奠宙教授談三角

三角函數(shù)怎么教？三角函數(shù)的背景如何？對(duì)邊比斜邊的值是不變，是描述性理解，只要記住就行，但還要確認(rèn)過.

（1）投影、折扣率與三角比

如果按照過去的辦法來教，什么叫正弦？對(duì)邊比斜邊的比值. 這個(gè)東西將來有什么用處，怎樣測(cè)量. 正弦的定義是怎么來的是不管的，知其然，不知其所以然. 將來慢慢地用到，才明白定義的作用.

三角函數(shù)與三角比問題，能不能借助折扣率理解三角比？是新鮮事，張景中院士提出來希望將此觀點(diǎn)編入教材. 正弦、余弦原來就是折扣率，一個(gè)梯子放在墻上，它的投影的長(zhǎng)與梯子長(zhǎng)的比就是正弦. 角度一樣，兩個(gè)梯子平行，梯子長(zhǎng)了它的的影子也長(zhǎng)了，梯子短了它的影子也短了. 但它的折扣率是一樣的，如都打了個(gè)八八折等，反映出比值的不變性. 這個(gè)是核心，是關(guān)鍵性問題.折扣率的重要性在于到高中以后的單位圓中得到正弦線、余弦線、正切線就是投影.由此可以畫出三角函數(shù)圖象，得到它的性質(zhì). 影子長(zhǎng)度關(guān)系全局，它不光是生活的原型，在整體的數(shù)學(xué)上來看，它貫穿三角函數(shù)知識(shí)的全部. 從影子的長(zhǎng)度來看，比值一樣折扣率也一樣，折扣率隨著角度的變化而變化就是三角函數(shù). 單位圓里斜邊為1，所以投影就是折扣率，正弦線等于折扣率.

（2）三角比的現(xiàn)實(shí)生活原型

三角比在目前的教科書中沒有生活原型. 折扣率可以作為生活原型，這個(gè)觀點(diǎn)的提出有它的價(jià)值與意義. 例如與面積的關(guān)系問題，為什么面積公式為absinC，面積為什么會(huì)與sin連在一起？對(duì)它要有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí). 直角三角形如果一歪的話，面積里面就出現(xiàn)sin. 邊a上的高等于bsinC，就是b在邊a的高線上的投影.

（3）從斯根普（R.Skemp）理解分類剖析三角

三角比是一種語言，本來正弦就是對(duì)邊比斜邊的比值. 正弦是一個(gè)名詞，為了我們今后講話方便起見，這個(gè)比值被單獨(dú)賦予了一個(gè)名稱. 以后講正弦是同角有關(guān)的一個(gè)函數(shù)時(shí)，工具性理解分三類：第一類是記憶的，即記住這個(gè)知識(shí)，sinA就是對(duì)邊比斜邊的比值，記住就達(dá)到目的. 第二類是描述性的，原來的對(duì)邊比斜邊的比值，比值是不變的. 通過三角形相似的知識(shí)來解釋比值的不變性. 第三類是確認(rèn)性的，即你量一量線段的長(zhǎng)度，算出比值確實(shí)是不變的，只要角度不變，隨便你怎么放大，對(duì)邊比斜邊的值總是不變. 確認(rèn)了就好了. 至于進(jìn)一步的理解，后面也有三層：一層是結(jié)構(gòu)性的理解，就是對(duì)邊比斜邊，還有鄰邊比斜邊，對(duì)邊比鄰邊等共六個(gè)三角函數(shù)，這是一種結(jié)構(gòu). 這個(gè)結(jié)構(gòu)建筑在相似三角形之上，沒有相似三角形三角函數(shù)就出不來. 不能籠統(tǒng)地說三角函數(shù)是陡度，因?yàn)槎付仁侵v一個(gè)傾角或一個(gè)仰角就可以了. 三角函數(shù)要比陡度要更進(jìn)一步，因?yàn)槿呛瘮?shù)有比值的問題. 第二層是過程性理解，它是怎么來的？原始是怎么定義的？當(dāng)時(shí)是怎么想到的. 我們是不是需要這些過程？學(xué)生解題可以不需要. 第三層是思想方法的理解，三角比的價(jià)值在于將三角、代數(shù)、幾何聯(lián)系在了一起，它的形式化表達(dá)是怎么樣的？可以將這些提煉成數(shù)學(xué)的思想方法，這樣的理解是最高層次的.

改進(jìn)

能不能把初中銳角三角函數(shù)概念作為高中任意角三角函數(shù)定義的鋪墊？能否將高中任意角的“單位圓定義法”和“終邊定義法”形成統(tǒng)一的定義？筆者進(jìn)行了以下的探索.

1. 建議初中引進(jìn)投影概念

如圖1，在RtABC中，斜邊AB在α的另一邊上的投影為AC=ABcosα，在與AC垂直的直線上的投影為BC=AB sinα. 在銳角ABC中，AB投影分別為AD與DB（如圖2）. 在鈍角ABC中，α為鈍角，AB投影分別為AD與DB（如圖3）. 特別注意的是當(dāng)AD在AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)投影值為負(fù)數(shù). 投影與射影不同，投影值可以為負(fù)數(shù)、正數(shù)和0.

2. 改進(jìn)初中銳角三角函數(shù)定義

?搖?搖如圖1，在RtABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sin∠A=.

改進(jìn)為：在RtABC中，∠C＝90°，把銳角A的斜邊在直線BC上投影與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sin∠A==折扣率.

三角比的現(xiàn)實(shí)生活原型為斜邊在直線BC上投影的折扣率. 定義的關(guān)鍵是找出這個(gè)角的另一邊和該邊所在直線垂線上的投影，還要注意投影的正負(fù)性. 銳角在直角邊上的投影不可能在反向延長(zhǎng)線上，因此銳角三角函數(shù)的值為正.

3. “單位圓定義法”與“終邊定義法”合并起來改進(jìn)為“投影定義法”

在人教版《普通高中實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)4?必修（A版）》中，三角函數(shù)采用了如下定義（簡(jiǎn)稱“單位圓定義法”）：

如圖4，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

圖4

（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．

圖5

改進(jìn)為：如圖5，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊取一點(diǎn)P（x，y），令OP=r=1，那么：

（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

（2）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）.

說明：（1）y，x的幾何意義分別是OP在鉛垂方向、水平方向的投影.

（2）α的正弦是OP在鉛垂方向投影對(duì)于OP的折扣率. 因?yàn)榉肿印⒎帜竿瑫r(shí)擴(kuò)大的倍數(shù)相同時(shí)折扣率不變，所以函數(shù)值與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān).

（3）折扣率分母為1，就是“單位圓定義法”，此時(shí)P（cosα，sinα）. 折扣率分母為r，就是“終邊定義法”，此時(shí)P（rcosα，rsinα）. 點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)分別是OP在水平方向與鉛垂方向的投影.

理由

用折扣率定義銳角三角函數(shù)和用投影定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn).

1. 整合概念，彰顯本性

“單位圓定義法” 中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，有函數(shù)的“味道”.能簡(jiǎn)單、清楚突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)――周期性. “終邊定義法”在引入時(shí)的自然與和諧，然后特殊化為“單位圓定義法”，也受很多教師的青睞. 整合兩種定義，合并成“投影定義法”. 更突出了兩個(gè)定義的一致性. 因此，“投影定義法”既有“單位圓定義法”的直截了當(dāng)、理解本質(zhì)，又有“終邊定義法”的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、便于教學(xué). 如此整合概念，適應(yīng)了認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了初、高中教材的連貫性，彰顯了編者與教者的智慧和匠心，突出了三角的本性.

2. 解決疑惑，便于理解

根據(jù)現(xiàn)有教材，教師的疑惑主要有三個(gè)方面：①“單位圓定義法”中，交點(diǎn)是特殊的，缺乏一般性，不符合數(shù)學(xué)定義的要求. ②“單位圓定義法”和“終邊定義法”不利于解釋將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)的因果關(guān)系. ③“單位圓定義法”不利于解題. 如在解“已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a，4a），求角α的三角函數(shù)值”時(shí)，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便. 在“求的正弦、余弦和正切值”時(shí)，用“終邊定義法”就不方便了，用“單位圓定義法”就有優(yōu)勢(shì).

概念形成一般遵循：“歷史發(fā)展、概念本質(zhì)、認(rèn)知規(guī)律、便于應(yīng)用”的原則，可見，“投影定義法”定義任意角三角函數(shù)是適當(dāng)?shù)? 如銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)，引進(jìn)投影，由于投影可以取正、負(fù)、0，銳角推廣到任意角三角函數(shù)顯得和諧、自然、易懂. 這樣就能突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，解決疑惑.

3. 構(gòu)建知識(shí)，凸顯思想

“投影定義法”有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)體系. 自變量α與函數(shù)值x， y（x軸上的投影與y軸上的投影）的意義非常直觀且具體，三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，克服了教學(xué)上的一個(gè)難點(diǎn). 由此，使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等.

我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象成一條細(xì)線. 三角函數(shù)定義中取OP=1，P在單位圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，正弦值是OP在y軸上得投影，且投影y的變化范圍為［-1，1］線段上伸縮，P的坐標(biāo)為（cosα，sinα）. 取OP=r，P的坐標(biāo)為（rcosα，rsinα）與半徑為r的圓的參數(shù)方程x=rcosα，y=rsinα（α為參數(shù)）相關(guān)聯(lián).

4. 符合歷史，找回原型

三角函數(shù)發(fā)展史表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生的，曾被稱為“圓函數(shù)”. 但是用線段的比來定義三角函數(shù)，是歐拉在《無窮小分析引論》一書中首次給出的. 在歐拉之前，研究三角函數(shù)大都在一個(gè)確定半徑的圓內(nèi)進(jìn)行的.所以，采用“投影定義法”能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程. 又能與時(shí)俱進(jìn)地發(fā)展概念. 對(duì)于銳角三角函數(shù)定義，張景中院士提出：邊長(zhǎng)為1的菱形它的面積就等于sinA. sinA是對(duì)于邊長(zhǎng)為1的正方形壓扁成菱形的折扣率.三角形的面積為什么不是兩邊相乘，而一定要乘以高，因?yàn)樗?，所以要乘以一邊上的折? 直角三角形兩個(gè)直角邊相乘就好，一彎的話就不能這樣做，相差一個(gè)折扣. 打折扣，打多少？就是這邊上的高（投影）. 初中的平面幾何中三角形的高與正弦有關(guān)，其本質(zhì)反映了投影與面積的關(guān)系.

5. 投影相伴，貫通三角

“投影定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象奠定了很好的直觀基礎(chǔ). 不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)帶來方便，因?yàn)楹?、差公式?shí)際上是“圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的解析表述，和、差化積公式也是圓的反射對(duì)稱性的解析表述.

另外，向量數(shù)量積中（如圖4），b在a方向上的投影為OP=bcosθ=∈R（注意OP是射影），所以a?b的幾何意義是a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積. 再如，S=acsinB=bcsinA，即a和b分別在邊c垂線上的投影與c的積乘以就是這個(gè)三角形的面積.在解三角形中，已知二邊和其中一邊的對(duì)角會(huì)產(chǎn)生一解、二解和無解問題，其本質(zhì)就是對(duì)投影與一邊的大小進(jìn)行討論.總之，在學(xué)習(xí)三角時(shí)，只要腦子中有投影，所有內(nèi)容就好學(xué)易懂了.

三角函數(shù)值規(guī)律范文第5篇

【關(guān)鍵詞】：三角函數(shù) 圖象 運(yùn)用 恒等變換

考題解析

考點(diǎn)1：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式。

此類問題容易因忽視角所在象限而失分。此題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式難度中等。

考點(diǎn)2：三角函數(shù)的圖象。

本考點(diǎn)在高考中，一個(gè)是考察利用圖象求解析式或用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，題目難度不大，但常與三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來，求解的關(guān)鍵是確定各參數(shù)的值，另一個(gè)是考察三角函數(shù)圖象的平移、伸縮、相位變換，尤其是平移變換。

例2（2012年湖南卷）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0

考點(diǎn)3：利用恒等變換求值與化簡(jiǎn)。

利用恒等變換進(jìn)行求值與化簡(jiǎn)，是每年高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)考察運(yùn)用正、余弦函數(shù)的和、差角公式，正切函數(shù)的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、變形應(yīng)用。從近幾年高考趨勢(shì)看，對(duì)于三角恒等變換求值與化簡(jiǎn)，高考命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，在解題中一般有兩個(gè)解題思路，一個(gè)是角的變化，即將多種形式的角盡量統(tǒng)一減少角的個(gè)數(shù)；二是"名"的變換，即三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一，要靈活利用公式，盡量實(shí)現(xiàn)切化弦，同時(shí)在實(shí)際解題時(shí)還要注意雙管齊下，整體代換。

點(diǎn)評(píng)：在求三角函數(shù)值的問題中，要注意"三看"，即：一看角，把角盡量向特殊角或已知角轉(zhuǎn)化；二看名，把三角函數(shù)中的切函數(shù)向弦函數(shù)轉(zhuǎn)化，把多個(gè)函數(shù)名向一個(gè)函數(shù)名轉(zhuǎn)化；三看式，看式子是否滿足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式轉(zhuǎn)化。

考點(diǎn)4：利用恒等變換研究函數(shù)性質(zhì)。

在高考中，恒等變換常與三角函數(shù)綜合起來，通過恒等變換，將三角函數(shù)式化為"單角單函數(shù)"的形式，來研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：要注意到三角函數(shù)名或角的差異，合理運(yùn)用公式，進(jìn)行恒等變換，化為"三角單角函數(shù)"的形式，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

考點(diǎn)5：三角函數(shù)與向量的交匯問題。