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集合的含義與表示范文第1篇

本章將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受用集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔

性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)結(jié)合實際問題，使學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識.

1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專用符號.

2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.

3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.

4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.

6.理解在給定集合中，一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.

7.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

8.學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y=f(x)的含義;了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念;體會函數(shù)是一種刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.

9.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇;會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象.

10.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.

12.學(xué)會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.

13.通過實習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對數(shù)學(xué)發(fā)展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實例.

二.編寫意圖與教學(xué)建議

1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，從而體會集合語言的簡潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學(xué)知識，通過列舉豐富的實例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.

教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強(qiáng)調(diào)從實例出發(fā)，讓學(xué)生對函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).

2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會，并注意運用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運算教學(xué)中的直觀作用。

3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運用集合的觀點研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.

4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學(xué)生體會到分類思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進(jìn)，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.

5.教材對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實質(zhì)上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).

6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.

7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進(jìn)行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.

8.教材加強(qiáng)了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.

9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際,合理地取舍.

三.教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議

本章教學(xué)時間約13課時。

1.1集合4課時

1.2函數(shù)及其表示4課時

1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時

實習(xí)作業(yè)1課時

復(fù)習(xí)1課時

§1.1.1集合的含義與表示

一.教學(xué)目標(biāo)：

l.知識與技能

(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系;

(2)知道常用數(shù)集及其專用記號;

(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;

(4)會用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象;

(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.

2.過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.

3.情感.態(tài)度與價值觀

使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

二.教學(xué)重點.難點

重點：集合的含義與表示方法.

難點：表示法的恰當(dāng)選擇.

三.學(xué)法與教學(xué)用具

1.學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2.教學(xué)用具：投影儀.

四.教學(xué)思路

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?

引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價.

2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

(二)研探新知

1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個實例：

(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);

(2)我國古代的四大發(fā)明;

(3)所有的安理會常任理事國;

(4)所有的正方形;

(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;

(7)方程的所有實數(shù)根;

(8)不等式的所有解;

(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.

2.教師組織學(xué)生分組討論：這9個實例的共同特征是什么?

3.每個小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個實例的特征，并給出集合的含義.

一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.

(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.

2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數(shù);

(2)我國的小河流.

讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.

3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說明理由.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動給予及時的評價.

4.教師提出問題，讓學(xué)生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.

如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.

如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請用數(shù)學(xué)符號分別表示.

(3)讓學(xué)生完成教材第6頁練習(xí)第1題.

5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴(kuò)充過程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號.并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.

6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點?適用的對象是什么?

(3)如何根據(jù)問題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?

使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學(xué)習(xí)：

(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9};

(2)用例舉法表示集合

(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁練習(xí)第2題.

(五)歸納整理，整體認(rèn)識

在師生互動中，讓學(xué)生了解或體會下例問題：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識內(nèi)容?

2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?

3.選擇集合的表示法時應(yīng)注意些什么?

(六)承上啟下，留下懸念

1.課后書面作業(yè)：第13頁習(xí)題

集合的含義與表示范文第2篇

1．通過本章的引言，使學(xué)生初步了解本章所研究的問題是集合與簡易邏輯的有關(guān)知識，并認(rèn)識到用數(shù)學(xué)解決實際問題離不開集合與邏輯的知識。

2．在小學(xué)與初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合實例，初步理解集合的概念，并知道常用數(shù)集及其記法。

3.從集合及其元素的概念出發(fā)，初步了解屬于關(guān)系的意義。

二、內(nèi)容分析

1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因為在高中數(shù)學(xué)中，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯。

2.1.1節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

3．這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念。學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)本章的意義。本節(jié)課的教學(xué)重點是集合的基本概念。

4．在初中幾何中，點、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認(rèn)識。教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集?！边@句話，只是對集合概念的描述性說明。

三、教學(xué)過程

提出問題：

教科書引言所給的問題。

組織討論：

為什么“回答有20名同學(xué)參賽”不一定對，怎么解決這個問題。

歸納總結(jié)：

1．可能有的同學(xué)兩次運動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個問題.

2．怎么解決這個問題呢？以前我們解一個問題，通常是先用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)一步求解，也就是先用數(shù)學(xué)語言描述它，把它數(shù)學(xué)化。這個問題與我們過去學(xué)過的問題不同，是屬于與集合有關(guān)的問題，因此需要先用集合的語言描述它，完全解決問題，還需要更多的集合與邏輯的知識，這就是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。

新課講解：

1．集合的概念：（具體舉例后，進(jìn)行描述性定義）

(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。

(2)元素：集合中的每個對象叫做這個集合的元素。

(3)集合中的元素與集合的關(guān)系：

a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；

a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。

例如，設(shè)B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，

注：集合、元素概念是數(shù)學(xué)中的原始概念，可以結(jié)合實例理解它們所描述的整體與個體的關(guān)系，同時，應(yīng)著重從以下三個元素的屬性，來把握集合及其元素的確切含義。

①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。

例如，像“我國的小河流”、“年輕人”、“接近零的數(shù)”等都不能組成一個集合。

②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的。

此外，集合還有無序性，即集合中的元素?zé)o順序。

例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。

2．常用的數(shù)集及其記法：

全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或；

全體整數(shù)的集合通常簡稱整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q；

全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，記作R。

注：①自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0，這與小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的可能有所不同；

②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也就是正整數(shù)集，表示成或。其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或。負(fù)整數(shù)集、正有理數(shù)集、正實數(shù)集等，沒有專門的記法。

課堂練習(xí)：

教科書1．1節(jié)第一個練習(xí)第1題。

歸納總結(jié)：

1．集合及其元素是數(shù)學(xué)中的原始概念，只能作描述性定義。學(xué)習(xí)時應(yīng)結(jié)合實例弄清其含義。

2．集合中元素的特性中，確定性可以用于判定某些對象是否是給定集合的元素，互異性可用于簡化集合的表示，無序性可以用于判定集合間的關(guān)系（如后面要學(xué)習(xí)的包含或相等關(guān)系等）。

集合的含義與表示范文第3篇

一、隱性分層作業(yè)的布置

教師在課堂教學(xué)后，基本上會針對本節(jié)課所學(xué)的知識，設(shè)置相應(yīng)的作業(yè)。在作業(yè)的布置中，為了能夠體現(xiàn)隱性分層的教學(xué)模式，教師有必要設(shè)置兩種試題，一種是必須完成的試題，必做題；另一種是可以選擇做或者不做的試題，選做題。

必做題在一般情況下，是將所學(xué)的基礎(chǔ)知識加深印象，鞏固思維，是基本的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想的方式，其定義為必做題，就是要讓全體學(xué)生都能夠?qū)⒒A(chǔ)知識透徹掌握。然而選做題是稍有難度的試題，一些學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維較廣泛的學(xué)生是最適合嘗試的，可以在一定程度上將數(shù)學(xué)的思維能力提升，并且能夠?qū)W(xué)生的主觀能動性充分地調(diào)動起來。

二、設(shè)計隱性分層的探究活動

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個探究的過程，教師在設(shè)計探究活動的階段要考慮到學(xué)生的差異性。要根據(jù)不同層次的學(xué)生，設(shè)計不同層次的知識點，然后再進(jìn)行探究。例如：“集合的表示與含義”的教學(xué)，要由淺入深、分層教學(xué)，先將集合的含義透徹掌握，再把集合與元素間的對應(yīng)關(guān)系了解清楚，才能夠記清專用記號與常用的數(shù)集。

在此基礎(chǔ)上，再去學(xué)習(xí)集合元素的無序性、互異性和確定性才能順暢，這樣層層遞進(jìn)的方式可以讓集合的表示與含義被學(xué)生深入了解。此外，對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，教師要嚴(yán)格關(guān)注，要讓隱性分層的教學(xué)模式體現(xiàn)。例如：探究活動中，是將學(xué)生作為主體的，學(xué)生能否將知識掌握是非常重要的。

集合的含義與表示范文第4篇

理解并掌握數(shù)學(xué)概念的核心是把握概念實質(zhì)，而不僅僅掌握概念形式的、描述的定義。就如學(xué)生會說“物體所占空間的大小叫物體的體積”不等于學(xué)生理解“體積”這個概念，教師把握數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)非常重要。小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的概念類型、層次各不相同，籠統(tǒng)地論述“數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)”既論述不清也沒有意義，一個重要方法是按照概念的類型分別論述某些數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)。自然數(shù)是小學(xué)階段的一個重要內(nèi)容，在小學(xué)階段沒有哪本教材給出“什么是自然數(shù)”的定義（一般地，大多數(shù)教材在四年級會給出這樣的描述來揭示其內(nèi)涵：表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6等都是自然數(shù)。一個物體也沒有用0表示，0也是自然數(shù)。所有的自然數(shù)都是整數(shù)）。但作為教師必須更進(jìn)一步、較為系統(tǒng)地了解自然數(shù)的內(nèi)涵與實質(zhì)，本文以自然數(shù)為例展開。

一、 自然數(shù)的現(xiàn)實意義

自然數(shù)概念的內(nèi)涵是豐富的，弗賴登塔爾提出――數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)以及計算的數(shù)；而對于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而言，“計數(shù)的數(shù)”（序數(shù)）意義更大，他認(rèn)為無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石。在此基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步細(xì)化、深入地認(rèn)識每一個自然數(shù)的實質(zhì)與意義。

首先看自然數(shù)的現(xiàn)實意義。每一個自然數(shù)的現(xiàn)實意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個――基數(shù)與序數(shù)。例如自然數(shù)5，既可以表示某個集合的元素個數(shù)，（即自然數(shù)的數(shù)量數(shù)含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數(shù)的序數(shù)含義）。

在小學(xué)的低、中階段自然數(shù)的這兩方面（基數(shù)與序數(shù)）的教學(xué)價值非常大，但在教學(xué)實踐中往往忽視了“序數(shù)”教學(xué)的價值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對數(shù)學(xué)本身意義的挖掘，就如學(xué)生對“計數(shù)的數(shù)”的理解是“探索規(guī)律”教學(xué)的基石。

進(jìn)一步拓展，我們可以知道自然數(shù)還有以下含義：1. 度量數(shù)。從某種意義上說，數(shù)量數(shù)是度量數(shù)的特例，度量數(shù)是數(shù)量數(shù)的擴(kuò)充。數(shù)量數(shù)刻畫的是離散量（集合的元素）的個數(shù)多少，度量數(shù)刻畫的是連續(xù)量的大小問題，由于連續(xù)量是可以無限分割的量，因此為了更準(zhǔn)確地測量出某個量到底有多大，就需要產(chǎn)生更小的測量單位，如果以最小的測量單位（或者同時用多個測量單位表示）作測量結(jié)果的單位，用自然數(shù)表示就足夠了，但表達(dá)和交流時會非常麻煩，為了更恰當(dāng)?shù)乇硎緶y量結(jié)果，就必須產(chǎn)生新的數(shù)――分?jǐn)?shù)（但現(xiàn)實生活中表示量的大小通常用有限小數(shù)來表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現(xiàn)行的十進(jìn)制計數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)致的），這是從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)的重要現(xiàn)實動力。另外，為了使自然數(shù)的減法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集，為使自然數(shù)的除法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集，滿足運算的封閉性也是數(shù)域擴(kuò)充的重要數(shù)學(xué)動力。2. 比率數(shù)。自然數(shù)還可以表示兩個量（數(shù)）之間的比率關(guān)系。3. 計算的對象或結(jié)果。任何一個自然數(shù)都可以是計算的對象或計算的結(jié)果。4.數(shù)軸上的“點”。每一個自然數(shù)（每一個實數(shù)）都與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。5. 用做編碼的符號。任何一個自然數(shù)都可以用來編碼。6.特別地還要強(qiáng)調(diào)“0”有以下幾點意義――“0”是一個概念，它表示“一個也沒有”；在位值制記數(shù)法中，“0”表示“空位（計數(shù)單位的個數(shù)是0個）”，起到占位作用；“0”是一個數(shù)，可以同其他數(shù)參與運算；“0”是標(biāo)度的起點或分界。

二、自然數(shù)的數(shù)學(xué)意義

自然數(shù)除了上述現(xiàn)實意義外，還有其數(shù)學(xué)意義，數(shù)學(xué)意義就是從其作為一個“數(shù)”本身的角度看“數(shù)”的內(nèi)涵，任何一個數(shù)都是 “計數(shù)單位與其個數(shù)乘積的累加就得到的”?！坝嫈?shù)單位”及其“個數(shù)”是構(gòu)成數(shù)的核心要素，真正認(rèn)識一個數(shù)必然要認(rèn)識這個數(shù)所涉及的計數(shù)單位，在小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”都分兩次學(xué)習(xí)，第一次學(xué)習(xí)僅是“初步認(rèn)識”，第二次學(xué)習(xí)才是“意義”層次的學(xué)習(xí)。

由于自然數(shù)是用“十進(jìn)位值制記數(shù)法”記錄的，所以計數(shù)單位是“1、10、100……”不同計數(shù)單位與其個數(shù)的累加就構(gòu)成了全部的自然數(shù)（某個計數(shù)單位的個數(shù)為“0”時，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數(shù)的拓展式。小數(shù)也是“十進(jìn)位值制”的，增加小數(shù)的計數(shù)單位“01、001、0001……”后，其累加的過程與自然數(shù)的過程基本相同，只不過有“有限次累加”與“無限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數(shù)”，無限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計數(shù)單位的“個數(shù)”是有規(guī)律地出現(xiàn)的，如果計數(shù)單位的個數(shù)的情況復(fù)雜，沒有規(guī)律，則無限次累加的結(jié)果是“無限不循環(huán)小數(shù)”，即無理數(shù)。

同樣，分?jǐn)?shù)也可以看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”，這不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識，又為進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運算打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。從這個角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)就使學(xué)生能夠真正理解為什么同分母分?jǐn)?shù)加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分?jǐn)?shù)加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進(jìn)一步理解“加減法計算的本質(zhì)就是相同計數(shù)單位‘個數(shù)’相加減”，“通分的本質(zhì)就是尋找兩個分?jǐn)?shù)的相同計數(shù)（分?jǐn)?shù)）單位”，這也是分?jǐn)?shù)的通分、約分和擴(kuò)分（尋找等值分?jǐn)?shù)）的理論依據(jù)。

最后簡要回答“0”為什么是自然數(shù)？“0”是自然數(shù)的意義是什么？實際上很難回答“0為什么又是自然數(shù)”，簡單可以說是“規(guī)定”的，是修正后的皮亞諾自然數(shù)公理中規(guī)定的，皮亞諾自然數(shù)公理規(guī)定“1”是第一個數(shù)，修正后規(guī)定“0”是第一個數(shù)。而規(guī)定“0”是自然數(shù)則意義重大。例如，用“0”來描述“空集”所含元素的個數(shù)，那么所有的自然數(shù)（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個數(shù)”問題；0作為自然數(shù)集合的第一個數(shù)，每個數(shù)的后面都緊跟著一個確定的數(shù)，可以把所有的自然數(shù)一個緊跟一個地排成一列數(shù)，既不重復(fù)也不遺漏等。

三、自然數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思想：十進(jìn)制與位值制

為了表示出一個“自然數(shù)”，在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過五進(jìn)制、十進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制，但最多的是以10為數(shù)基的十進(jìn)制。

古埃及記數(shù)法中有“十進(jìn)制”卻沒有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數(shù)就必須產(chǎn)生表示更大單位的“新符號”，但有位值制思想后，則用有限個“符號”就能表示出無限的數(shù)，例如在“十進(jìn)制”前提下只需要10個符號就能表示出所有的自然數(shù)。

但十進(jìn)位記數(shù)法，離十進(jìn)位值制計數(shù)法還有關(guān)鍵的一步要走，即“位置值制（簡稱‘位值制’）”。所謂“位值制”，是指相同的記數(shù)符號由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數(shù)目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個數(shù)字表示出無限多個自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個奇跡。

用十進(jìn)位值制記數(shù)法來表示數(shù)意義巨大，一是便于比較兩個自然數(shù)的大小，自然數(shù)大小比較時首先看自然數(shù)的位數(shù)，位數(shù)越多則這個數(shù)越大。二是更便于數(shù)的計算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內(nèi)的加減法”，只不過“計數(shù)單位”不同，乘除法做的則都是“表內(nèi)乘除法”。

四、無限集合的個數(shù)問題

學(xué)習(xí)自然數(shù)除了前面所論述的現(xiàn)實意義、數(shù)學(xué)意義以及所蘊含的十進(jìn)制、位值制思想外，還有一個重要問題即自然數(shù)集合的元素個數(shù)問題，這個問題推動了近代集合論的發(fā)展。

對于無限集合，部分可以和全體相等，核心是建立兩個集合元素之間的“一一對應(yīng)”關(guān)系，如果兩個集合之間的元素能夠建立“一一對應(yīng)”關(guān)系，則這兩個集合元素的個數(shù)是相等的。因此伽利略的困惑就不難解決：從自然數(shù)集合中抽出完全平方數(shù)組成集合，當(dāng)集合為有限集時，自然數(shù)集中元素的個數(shù)多于完全平方數(shù)集合中元素的個數(shù)；當(dāng)集合元素為無限時，兩個集合元素個數(shù)一樣多只需要建立兩個集合元素之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

集合的含義與表示范文第5篇

以下是

請規(guī)定一個有意義的量為正，并用正、負(fù)數(shù)重新列表表示這8名同學(xué)的成績.

三、練習(xí)提高夯實基礎(chǔ)1、若存款為正，某儲蓄所在1小時內(nèi)接待了4筆業(yè)務(wù)：存款2000元，取款1200元，存款400元，取款800元，用正數(shù)、負(fù)數(shù)分別表示為.2、下列說法：①零的意義僅僅是表示沒有；②0是最小的正整數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④0是偶數(shù)，也是自然數(shù).其中正確的是（ ）A、①③④B、①②③④　C、③④D、②④3、下列各組量中，具有相反意義的量是（ ）A、起重機(jī)上升5米與右移3米 B、向前走與向后走　C、收入玉米40公斤與借走玉米40公斤　 D、存入3萬元與取出2萬元4、如果節(jié)約16度電記作＋16，那么浪費6度電記作度.5、鐘表上的指針順時針旋轉(zhuǎn)30度記作+30度,則-20度表示的意義是 .6、如果水位下降3米記作－3米，那么水位上升4米記作（ ）A、1米　B、7米　C、＋4米D、－7米7、如果－4米表示物體向西運行4米，那么＋2米表示 　，物體原地不動記為.8、既是負(fù)數(shù),又是整數(shù)的數(shù)是( )A、0分 B、1分 C、-2分 D、3.5分9、下列說法中錯誤的是（ ）A、正整數(shù)一定是自然數(shù)　 B、自然數(shù)一定是正整數(shù)C、0既是整數(shù)，也是有理數(shù)　 D、有限小數(shù)也是分?jǐn)?shù)10、某食品包裝上標(biāo)有“凈含量385±5克”，這袋食品的合格率含量范圍是 　克至 　克.11、向西走-100米,可以說成( )A、向西走100米 B、向東走100米 C、向西走200米 D、向東走200米12、－7所在的數(shù)集有　 ?。▽懗鋈齻€數(shù)集的名稱）.13、按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：－23，－18，－13，　 　.14、把下列各數(shù)填到相應(yīng)的大括號內(nèi)： -4，5， ，- ,0,-21 , ,-0.03003.負(fù)整數(shù)｛ …｝　分 數(shù)｛…｝非負(fù)數(shù)｛ …｝　非正分?jǐn)?shù)｛ …｝15、學(xué)校對初一男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測試，以能跳1.7m及以上為達(dá)標(biāo)，超過1.7m的厘米數(shù)用正數(shù)表示，不足l.7m的厘米數(shù)用負(fù)數(shù)表示． 第一組10名男生成績?nèi)缦?單位cm)：+2 -4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3 （1）跳得最遠(yuǎn)的距離和最近的距離分別是多少？（2）第一組有幾名學(xué)生達(dá)標(biāo)？達(dá)標(biāo)率是多少?能力提高16、一潛水艇所在高度是－80米，它下潛10米的高度記為 　.17、小明比小剛的身高高-5㎝的意義是 　.18、下列說法中正確的是（ ）A、有最小的自然數(shù)，也有最小的整數(shù)　B、沒有最小的正數(shù)，但有最小的正整數(shù)C、沒有最小的負(fù)數(shù)，但有的負(fù)數(shù)D、0是有理數(shù)中最小的數(shù).19、有公共部分的兩個數(shù)集是（ ）A、正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合　 B、整數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合　 C、負(fù)數(shù)集合與整數(shù)集合D、負(fù)分?jǐn)?shù)集合與正分?jǐn)?shù)集合20、某班數(shù)學(xué)平均分為80分,80分以上如85分記作+5分,某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分,應(yīng)記作( )A、+2分 B、-7分 C、-2分 D、+7分21、巴黎與北京的時差為-7時（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的小時數(shù)）如果北京時間是7月2日14：00，那么巴黎的時間是（ ） A、7月2日21時 B、7月2日17時 C、7月2日5時 D、7月2日7時22、按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1，－4，9，－16，25，　 　，　 　.23、將下列有理數(shù)填在對應(yīng)的圈中：　－0.3，0，－100，3.7，99.9，－15/2，10， ，2/3. 24、如果課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)高度高2㎜記作＋2㎜，那么比標(biāo)準(zhǔn)高度低3㎜記作什么？現(xiàn)有5張課桌，量得它們的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)高度比較分別是＋1㎜，－1㎝，0㎜，＋3㎜和－1.5㎜，若規(guī)定課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)的高度不能超過2㎜，最低不能低于2㎜才算合格，那么上述5張課桌有幾張合格？探索創(chuàng)新25、某種商品的標(biāo)準(zhǔn)價格是400元，但隨著季節(jié)的變化，商品的價格可浮動±5％.（1）±5％的含義分別是什么？（2）請你算出商品的價和；（3）某商家將該商品的零售價格定在450元，受到物價部門的處罰，請分析處罰原因.