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1理論推導

在r-z柱坐標系下，假定隧道縱向沿z軸布置，徑向沿r軸布置，隧道一端位于坐標原點。設隧道長l，兩端簡支，則隧道兩端的坐標為（r,0）、（r,l）。隧道斷面為圓形。考慮隧道結構有兩層組成，分別為襯砌和圍巖，每層的材料性能為均勻且各向同性。設隧道內半徑為ra，圍巖外半徑為rb。隧道內部溫度為Ta(z)，隧道外部圍巖溫度為Tb(z)，溫度荷載沿隧道環向對稱施加。計算考慮地應力的作用，設隧道內外邊界承受軸對稱的機械荷載，分別為qa(z)和qb(z)穩態熱傳導方程式中：i代表隧道層數,模型結構分2層；Ti代表隧道第i層的溫度；Ti為r和z的函數。式中：Ti(r,0)、Ti(r,l)為隧道兩端的溫度；λi為第i層的熱傳導系數，i=1,2。式中：ui和wi分別表示軸向和徑向位移；i=1，2；ri、i、zi為應變分量；rzi為剪應變。式中：E0、α0、λ0、T0分別為彈性模量、熱膨脹系數、熱傳導系數及溫度的參考值。將無量綱引入上述熱彈性基本方程和邊值條件，則熱傳導方程轉化為以上就得到了解決問題所需要的3個微分方程及其相對應的全部邊值條件，為了得到方程的解，運用納維級數法，將滿足邊界條件的方程的解的形式假設為式中：系數1kiP、2kiP、1kiM～6kiM、1kiL～6kiL均可通過遞推公式推出，將求解出的系數代入式，即可求出二維穩態隧道的溫度、位移的解析解，從而求出應力的解析解，從而使問題得解。隧道熱彈性分析圓形隧道有襯砌和圍巖兩部分組成，假定隧道半徑為4m，襯砌厚度為0.3m，即r1=4m,r2=4.3m。襯砌的彈性模量、泊松比、熱膨脹系數、熱傳導系數及剪切模量值分別。圍巖的彈性模量、泊松比、熱膨脹系數、熱傳導系數及剪切模量值分別。根據計算的需要，進行無量綱化時需要的溫度、楊氏模量、熱膨脹系數、熱傳導系數的參考值分別取為80℃、20GPa、3.0×10-6K-1、2.60W/(m2·K)。

2邊界溫度及機械荷載的確定

假定隧道埋深200m，巖石的重度為2400kg/m3，則隧道圍巖外邊界承受的壓力qb(z)為4.8MPa，隧道內邊界沒有承受機械荷載，即qa(z)為0。根據計算需要將隧道邊界溫度及機械荷載分解為沿隧道軸向的正弦級數式中：m值越大，分解后的正弦級數值與實際值就越接近，但當m達到一定程度后，m值的增加并不能提高計算精度，反而會增大計算量，因此需要找到合理的m值。下面以隧道內邊界溫度為例，確定m的合理取值。給出了m分別取5、10、20、40時，常數Ta按傅里葉級數展開后得到的效果圖。m值越大展開后的正弦級數越接近Ta的真實值。當m值取20時，按傅里葉正弦級數展開已能夠滿足工程計算精度的要求。因此，本文中取m=20。合理的圍巖計算厚度的選擇在高地溫的環境下，巖石的原始溫度為80℃且在無限大的范圍內保持穩定，隧道內部的溫度為26℃。由于隧道內外存在明顯的溫度差，那么在隧道內部與外部圍巖之間一定存在熱交換，且離隧道襯砌越近溫差越大，熱交換越劇烈；離隧道越遠溫差越小，熱交換就越微弱。假定當熱交換量小于一定的值時，將其忽略不計，那么隧道內部與外部圍巖之間的熱量傳遞是存在于一定的范圍內的。在進行理論分析時，為了更真實、簡便地進行表達，需要找到圍巖溫度的變化范圍，即圍巖的合理計算厚度。由于隧道開挖而造成的圍巖溫度的變化范圍是一定的，且隧道內部空氣和外部圍巖的溫度均保持不變，那么在襯砌與圍巖的接觸面上的溫度也將趨近于一個固定值，且襯砌溫度達到穩定值時所對應的圍巖厚度即為所需要的圍巖合理計算厚度。給出了rb分別為時所對應的襯砌與圍巖接觸面上的溫度的無量綱值。可以看出，當rb從4.6m變化到10.0m時，襯砌與圍巖接觸面上的溫度T(4.3,50)迅速下降，說明圍巖厚度對襯砌溫度的影響比較明顯。當繼續增加圍巖厚度時，曲線T(4.3,50)逐漸減小，并且在20m以后逐漸趨于穩定。因此，取rb=24m作為研究對象，即圍巖厚度為19.7m，即可滿足計算的要求。

3溫度場與應力場分析

在隧道內、外邊界上，沿Z軸方向隧道兩端的溫度出現突變，其原因是隧道內外邊界溫度荷載是傅里葉級數展開的近似表達。圖5給出了T(r,50)的變化曲線，可知，溫度沿厚度方向呈非線性變化，靠近隧道內表面處溫度下降較快。這是由于圍巖和襯砌兩種材料的熱彈性參數不同，溫度在襯砌與圍巖接觸面出現了明顯的拐點。由于隧道內外邊界處的溫度按傅里葉級數展開，使得隧道兩端的溫度與實際溫度之間存在差異。為了確定其在隧道兩端的影響范圍，給出了r分別為時無量綱溫度T/T0沿隧道z軸的變化趨勢。可以看出，在(20～25)m≤z≤(75～80)m范圍內，溫度基本上不受隧道兩端邊界的影響，即隧道邊界溫度按級數展開對隧道兩端溫度的影響范圍約為20～25m。的無量綱分布圖。圖9、10分別給出了徑向位移U(r,50)和軸向位移W(r,50)的變化曲線圖。由于圓形隧道的溫度和應力荷載都是對稱施加的，可以看出，徑向位移是關于斷面z=50m對稱分布，在圖8中軸向位移也是關于斷面z=50m對稱分布的，且由圖9可知，隧道的徑向位移沿隧道徑向呈非線性變化，其在襯砌及其附近的變化幅度很小。隧道軸向位移沿隧道徑向由內而外從負值逐漸變為正值，且其在外邊界處位移絕對值大于內邊界處。由于隧道屬二維平面應變問題，軸向位移值遠小于徑向位移值。

作者：王超胡浩單位:攀枝花學院