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拋物線的標準方程范文第1篇

關(guān)鍵詞：拋物線；翻轉(zhuǎn)課堂；教學設(shè)計

一、研究背景及意義

圓錐曲線是高中課程的重要內(nèi)容，拋物線是圓錐曲線之一，與之前學習的橢圓與雙曲線相比相對比較復雜。此外，拋物線在初中階段學習一元二次函數(shù)的時候接觸過，學習者很可能將拋物線錯誤地定義為“二次函數(shù)的圖像”。因此，如何更好地講解《拋物線及其標準方程》顯得尤為重要。

總結(jié)前人[1][2][3]所做的研究可以發(fā)現(xiàn)對于拋物線的教學設(shè)計研究者大都是在傳統(tǒng)課堂的基礎(chǔ)上進行的。《拋物線及其標準方程》這一節(jié)內(nèi)容難度較大，整節(jié)內(nèi)容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。因此，僅利用課堂上45分鐘時間，學生很難真正掌握這部分內(nèi)容。

翻轉(zhuǎn)課堂是教學流程變革所帶來的，教學環(huán)節(jié)包括課前、課中、課后三個主要教學環(huán)節(jié)以及評價、診斷兩個輔助教學環(huán)節(jié)[4]。利用“翻轉(zhuǎn)課堂”進行《拋物線及其標準方程》教學。

通過課前，課中，課后這三階段的教學，學生可以分步驟掌握這部分內(nèi)容；另外，可以反復觀看視頻加深對內(nèi)容的理解程度。這樣可以達到分解知識內(nèi)化的難度，增加知識內(nèi)化的次數(shù)，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。因此，在翻轉(zhuǎn)課堂的教學模式下研究拋物線及其標準方程是具有一定意義的。

二、教學案例

（一）教材分析

《拋物線及其標準方程》是選修2-1的第二章《圓錐曲線與方程》。教材內(nèi)容的順序是：曲線與方程-橢圓―雙曲線―拋物線。可以減少了學生的認知障礙。

（二）學情分析

學生對拋物線的幾何圖形已經(jīng)有了直觀的認識。并且對圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認識。

（三）教學目標

（1）動手實踐，體驗拋物線的形成過程從中抽象出拋物線的幾何特征；（2）掌握拋物線的定義和標準方程；（3）進一步感受類比，數(shù)形結(jié)合的重要思想方法；（4）感受拋物線的廣泛應(yīng)用與文化價值，體會數(shù)學美。

（四）教學重難點

教學重點：1.掌握拋物線的定義與相關(guān)概念；2.掌握拋物線的標準方程。

教學難點：1.從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義；2.建立合適的坐標軸求解拋物線的解析式。

（五）教學過程

1.課前教學過程的設(shè)計（問題引導，觀看視頻）

（1）問題引人，溫故知新。

教師活動1：思考以下幾個問題：？做出函數(shù) 的圖象。？求到點F（0，2）與直線l： 距離相等的點的軌跡方程，并作出其圖象。

設(shè)計意圖：激發(fā)學生的學習興趣。

教師活動2：根據(jù)學生的回答，對以上問題進行總結(jié)，并且提出新問題：我們可不可以把拋物線定義為二次函數(shù)的圖像呢？為什么？

設(shè)計意圖：糾正學生頭腦中“拋物線就是二次函數(shù)的圖像”這一錯誤觀念。

（2）動手操作，探究新知。

教師活動3：提問：那么拋物線到底是如何形成的呢？播放微視頻（首先呈現(xiàn)生活中的拋物線，接著演示拋物線的形成過程，并給出操作步驟）。

設(shè)計意圖：調(diào)動學生的學習興趣，提高他們的動手實踐能力。

教師活動4：提出問題：1.在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？2.在作圖過程中，繩長，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量沒有變？哪些量變了？

設(shè)計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征。

教師活動6：提出問題：試著給拋物線下個定義。

2.課中教學設(shè)計：（繼續(xù)探究，小組討論，觀看視頻）

（1）類比遷移，自主探究。

教師活動1：給出拋物線的定義。提問：類比之前學過的橢圓以及雙曲線，試著選擇合適的坐標系并求解拋物線的方程？

學生活動1：學生自己選擇建系方式，并求出對應(yīng)的拋物線方程，然后小組討論，選出最佳建系方式，并求出其相應(yīng)的拋物線方程。

教師活動2：播放微視頻（總結(jié)學生可能會想到的三種建系策略，并用以前學習的二元一次函數(shù)圖像的平移來解釋選擇坐標系的原因。）

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生用類比法解決問題的能力；體現(xiàn)學生的主體地位。

教師活動3：思考：橢圓與雙曲線各有兩種標準方程，拋物線有幾種呢？并思考原因。

學生活動3：小組討論。并匯報各小組探究的結(jié)果。

教師活動4：思考拋物線的標準方程與其焦點坐標與準線方程的關(guān)系。

設(shè)計意圖：加快解題速度。

（2）課堂作業(yè)，學以致用。

教師活動5：例1：？拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標與準線方程；

？一直拋物線的焦點是F（0，-2），求它的標準方程。

（3）學生總結(jié)，教師提煉。

教師活動6：要求學生回憶本節(jié)課的教學，鼓勵學生進行總結(jié)。對學生的小結(jié)進行補充。

3.課后教學設(shè)計（問題探究，拓展知識）

拓展作業(yè)：

初中我們已經(jīng)知道對于一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，a影響其開口方向和開口大小，類比a對一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像的影響試著研究對于拋物線y2=2px，p對拋物線的影響。

設(shè)計意圖：將課堂的數(shù)學探究活動延伸到課外，使學生進一步體會類比思想方法對于數(shù)學研究中的意義。

三、小結(jié)

《拋物線及其標準方程》整節(jié)內(nèi)容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。傳統(tǒng)課堂的45分鐘顯然不能使學生完全理解掌握全部知識點。因此，本節(jié)課筆者采用翻轉(zhuǎn)課堂。課前，學生通過反復觀看微視頻進行深入的思考，并在老師的引導下，體會拋物線的基本特征，最后給拋物線下定義；課中，討論與交流建系策略以及標準方程，通過觀點的相互碰撞深化學生的認知。課后，布置相應(yīng)的探究題，拓寬學生的思維。這樣學生可以分階段分步驟掌握這部分內(nèi)容；另外，可以反復觀看視頻加深對內(nèi)容的理解程度。這樣可以達到分解知識內(nèi)化的難度，增加知識內(nèi)化的次數(shù)，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。

參考文獻：

[1]劉為宏，趙瑜.《拋物線及其標準方程》教學新設(shè)計[J].中學數(shù)學研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《拋物線及其標準方程》教學實錄與反思[J].福建中學數(shù)學，2015（12）：26-18

拋物線的標準方程范文第2篇

一、引思――訓練思維的流暢性

師：請同學們思考兩個問題：

1、我們對拋物線已有了哪些認識？

2、二次函數(shù)的圖像拋物線的開口方向是什么？

生：在初中數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象；在二次函數(shù)中研究的拋物線，有開口向上或向下兩種情形。

師：（通過課件展示圖片）實際上，在生活中存在著各種形式的拋物線，隨處可見。比如綻放的煙花、結(jié)實的拱橋、美麗的彩虹、探照燈的軸截面等，還有一些運動形成的拋物線，投籃運動、拋球運動等形成的軌跡都是拋物線，說明拋物線在實際生活中無處不在，那么今天我們就對于拋物線進一步研究，體會拋物線的美妙。

通過圖片的展示，使學生切實感受到了現(xiàn)實生活中確實存在許許多多的拋物線，這樣真實的感受讓學生能夠認識到學習拋物線的現(xiàn)實意義和必要性，為學生下面進行積極的思維奠定了良好的基礎(chǔ)。

師：下面我們來看拋物線可以怎樣畫出（演示拋物線的形成），請同學們仔細觀察畫圖的過程，給出拋物線的定義。

生：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

師：（再引導）由前面橢圓、雙曲線的學習我們可以知道這里的定點及定直線通常叫做什么？

生：定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。

評述 課堂上對定義的教學，一般都是老師講，學生被動聽，這種被動的學習方式扼殺了學生思維的積極性和主動性，難以煥發(fā)出思維的活力，更談不上學生的積極參與，他們在認識上只是依賴淺層次的策略。引導學生積極思維，得要讓學生有直觀的認知，具備一定的基礎(chǔ)知識，以達到訓練思維的流暢性。

二、順思――訓練思維的層次性

師：為了能夠順利的對拋物線進行研究學習，并研究與拋物線相關(guān)的問題，下面我們來求出拋物線的標準方程。這實際是求曲線方程的問題，首先要考慮求曲線方程軌跡的基本步驟是什么？

生：①、建立直角坐標系，設(shè)動點為(x,y)；②、寫出適合條件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最簡（并注明條件）；⑤、證明（常常省去）。

師：那我們現(xiàn)在遇到的第一個問題就是如何適當?shù)慕⒆鴺讼担骨蟪龅膾佄锞€標準方程最簡呢？設(shè)焦點到準線的距離為常數(shù)P(P>0)。

生：取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，準線為y軸。

師：很好！這是我們的一般方法，但是回想在初中學習的二次函數(shù)圖象的頂點在坐標原點時，二次函數(shù)的表達式才是最簡的，由此可以想象取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，垂足為K，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，所得方程更為簡單。（展示了思維的層次性）

在這里，老師將學生的習慣思維和原有的知識作以對比，引導學生通過不同的角度思考問題，有助于學生思維層次的提高，考慮問題顯得更加細致周到。

師：下面我們就進行推導，

如圖，取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)動點M的坐標為（x，y） ，由拋物線的定義可知，化簡得此處推導簡潔到位，同時對于舊知識也進行了復習，處理得當。

師：我們再按照最先想到的做法進行推導，與前面的結(jié)論作以對比。

如圖，若以準線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準線L:x=0由拋物線的定義，可導出拋物線方程為比較之下，顯然方程 更為簡單。

此處讓學生動手實踐，通過自主對比找出最簡結(jié)果，通過這樣的體驗能夠加深學生對結(jié)果的理解認識，并再次熟練了推導的過程，培養(yǎng)了學生探索的精神。

評述 通過從不同的角度對問題進行深入的思考，先產(chǎn)生一個直覺上的認識，再進行實踐，對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)最優(yōu)結(jié)果，增強知識的系統(tǒng)性，對相關(guān)問題進行聯(lián)系。同時，讓學生對所考慮的問題進行自主研究，從而使思維達到一個較高的層次。

三、延思――訓練思維的變通性

師：我們所推導的方程

叫做拋物線的標準方程。其中 p 為正常數(shù)，它的幾何意義是：焦點到準線的距離。

方程 表示的拋物線，其焦點位于X軸的正半軸上，其準線垂直于X軸的負半軸，即焦點為準線為。

但是，一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式。請同學們思考拋物線的標準方程還有哪些形式? 其它形式的拋物線的焦點與準線呢？（鼓勵與激發(fā)全班同學參與）

一石激起千層浪，此處的提問使學生又一次的展開了思維，在考慮到各種情形后，進入到對方程的研究，學生自然的想到能否利用前面的結(jié)果加以解決，這樣的變化讓學生的思維也發(fā)生了一些變通。

師：大家已經(jīng)想到了還有開口方向朝左、朝上和朝下幾種情形（展示拋物線的各種形式），我們先來考慮開口朝左的情形。請問大家從圖象上觀察與朝右的情形有什么聯(lián)系？

生：（急切的回答）關(guān)于y軸對稱！

師：那對于方程的研究有什么幫助呢？

生：（脫口而出）圖象關(guān)于y軸對稱，即圖象上的點是關(guān)于y軸對稱，而關(guān)于

y軸對稱的點橫坐標相反，縱坐標不變！故開口朝左的方程為

師：很好！大家的思維非常棒！看來同學們是用形與數(shù)的關(guān)系解決的，那么對于開口朝上的又如何考慮呢？能否用剛才的辦法呢？（激發(fā)學生的思維）

生：（對比圖象之后）開口朝上的圖象可以看作是將開口朝右的圖象按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到的！

師：觀察得很好！可是我們并沒有學習過旋轉(zhuǎn)變化呀！那么能不能把這個旋轉(zhuǎn)變化歸于我們學習過的對稱變化呢？請大家再觀察。（進一步激發(fā)學生的思維）

生：由于是逆時針方向旋轉(zhuǎn)的了90°，因此可以看作是關(guān)于直線對稱！

師：非常好！那么我們的問題就可以得到解決了！具體如何給出方程呢？

生：關(guān)于直線對稱的兩點互換了橫縱坐標，因此將開口朝右的方程中的x、y互換位置即可！即方程為。（展示了思維的靈活性）

師：分析的非常到位，那最后一種情形很容易就可以給出結(jié)果了！我們一起來完成下面的表格，鞏固知識。

通過引導和提問，使學生積極的思維，自主觀察研究解決問題，提高了思維的變通性，激發(fā)了學生的學習熱情！

師：想一想，怎樣把拋物線的位置特征(標準位置）和方程特征（標準方程）統(tǒng)一起來？以便我們記憶！

生：從開口方向來看可分為上下型和左右型；上下型x帶平方，左右型y帶平方；朝負方向帶負號，朝正方向則不帶！

師：很好！通過這樣的統(tǒng)一歸類，我們記憶起來就更加的容易了！

通過歸類研究，培養(yǎng)了學生提煉知識的能力，養(yǎng)成了學生總結(jié)的習慣。

評述 這部分內(nèi)容是本節(jié)課的重點，在教學的處理上也是難度比較大的，直白的給出使學生接受時比較困難，也不利于以后的記憶和應(yīng)用，通過一系列的引導，使學生充分的參與進來，積極的思考，在高效的學習過程中，不知不覺中提高了學生思維的變通性，能夠應(yīng)對不斷變化的問題，使知識的反饋面更加廣泛，知識的綜合運用性更加深化，達到了訓練學生思維變通性的目的。同時，利用舊方法，通過遷移解決新問題，極大的提高了學生的能力，這正是高考考察的重點！

四、反思――訓練思維的深刻性

知識點學習結(jié)束，不能看成是相應(yīng)的數(shù)學活動終結(jié)，也不能意味著學生真正的掌握了知識，還要通過具體的問題對知識加以深化和鞏固。

師：下面我們通過具體例子深化對拋物線方程及相關(guān)量的認識并鞏固之。

例1：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程

師：若已知拋物線的標準方程，求其焦點坐標和準線方程；或是已知焦點坐標和準線方程，求其拋物線的標準方程，應(yīng)該注意什么呢？（訓練思維的深刻性）

生：“先定位，后定量”。

師：很好！我們先研究形的特點，然后再結(jié)合所學知識，解決相應(yīng)的問題，這樣一來，思路就能夠十分流暢，而且還增強了嚴謹性。下面再通過一個例子來感受“先定位，后定量”。

例3：求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程。

分析：由點在第二象限，結(jié)合圖形知拋物線開口有朝上和朝左兩種情形。

解:(1)設(shè)拋物線的標準方程為

師：下面我們來看兩道高考題，希望同學們以最快的速度給出結(jié)果！（訓練思維的敏捷性）

練習:(2003• 天津卷) 拋物線的準線方程是y=2 則a的值為

（A） （B） （C）8 （D）-8

思考:(2000 • 全國卷)過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別為p、q則 等于

（A） 2a （B） （C） 4a（D）

生：練習中先將方程化為標準式，可知選B。

生：思考中同樣先將方程化為標準式，再由直線的任意性，可取垂直于對稱軸的直線加以計算，可知選 C。

師：非常好！說明我們對知識有了一個系統(tǒng)的掌握，希望在課后再加強練習以鞏固本節(jié)課所學的知識點。

評述 通過反思，可以認識到訓練思維品質(zhì)的重要性，要使學生的思維具有嚴謹性、深刻性、靈活性、發(fā)散性、敏捷性，教師必須把課堂作為訓練學生思維的主要陣地，讓課堂煥發(fā)出思維的活力！

拋物線的標準方程范文第3篇

關(guān)鍵詞：探究學習；小組合作；問題意識

探究學習可以增加學生對數(shù)學的理性認識，加深對數(shù)學問題的理性思考，有助于培養(yǎng)數(shù)學思維意識. 本文從分析“拋物線及其標準方程”一節(jié)教學實錄出發(fā)，充分體現(xiàn)學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，體現(xiàn)學生在當今課堂中的主體地位.

1.創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

活動一：

師：在初中我們學習過二次函數(shù)的圖象就是拋物線.請同學們思考一下，生活當中，有沒有拋物線的的影子呢？請大家舉例.（學生思考片刻后，回答踴躍）

生1：拱橋、彩虹.

生2：投籃所形成的弧線.

師：很好，大家舉的例子都符合.

（課件展示圖片（大橋、彩虹、噴泉、投籃）和Flas：投籃運動，并配以優(yōu)美的音樂）.

師：這節(jié)課我們將從曲線和方程的角度來學習拋物線.（引出本節(jié)課題：拋物線及其標準方程）.

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的學習興趣，感受數(shù)學來源于生活.

2.問題引導，共探新知

活動二：

師：課前讓大家思考了教材64頁“信息技術(shù)應(yīng)用”中提出的問題.（用ppt展示）

已知：點F是定點，是不經(jīng)過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂

直平分線交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？

師：請同學們仔細觀察！（利用幾何畫板演示畫圖過程）

（學生觀察畫圖過程，積極思考并討論）

師：誰來談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

生4：點M隨著H的運動，始終有|MH|=|MF|.也就是點M與定點F和定直線的距離相等.

生5：點M的軌跡是拋物線.

師：很好，你們觀察得很仔細，值得稱贊.（學生鼓掌）請同學們嘗試一下，給拋物線下個定義.

生5：到點 F 的距離和到直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.

師：這樣歸納完整嗎？

生6：平面內(nèi)到一個定點F 和到一條定直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.

生7：還要注意定點不能在定直線上.

師：為什么啊？

生8：如果這樣，就只能找到一個點.

師：我們繼續(xù)來思考：若定點F恰好在定直線上，軌跡會是什么圖形？（學生積極思考，相互討論）

生8：當定點F在定直線上時，滿足條件的點的軌跡是一條直線.

生9：且是過點F垂直于直線的一條直線.

師：大家覺得這兩名同學的想法可以統(tǒng)一嗎？（大家七嘴八舌，觀點基本一致）

師：說得很好！這里F 叫做物線的焦點，定直線L 叫做物線的準線.（教師板書：拋物線的定義：把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線（不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.其中點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.）

【設(shè)計意圖】首先利用幾何畫板動畫演示拋物線的生成過程，可以起到化解難點作用.其次經(jīng)歷了一次讓學生自行歸納、完善定義的過程，使他們對拋物線的定義有更準確的把握，印象更為深刻，同時也鍛煉了學生類比、歸納總結(jié)的能力.

活動三：

師：了解了拋物線的定義，接下來我們最想知道的就是拋物線的方程了，那么如何求拋物線的方程呢？

師：請同學們回想一下，之前我們學過的求曲線方程的基本步驟是怎樣的？

生8：建系；設(shè)點；列式；化簡；證明.

師：很好.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，我們該如何建系呢？（小組討論，集中探索）

（教師巡視，一段時間后用實物投影展示學生作品）

方案（一） 方案（二） 方案（三）

師：大部分小組都是上面三種建系方案中的一種.猜想一下，哪個好呢？

生9：方案二比較簡單.

生10：方案一比較簡單，它是以定直線為y軸，定點F在x軸上設(shè)計的，結(jié)果應(yīng)該比較簡單.

生11：方案三以拋物線的頂點為原點，定點F在x軸上，具有一定的對稱性，結(jié)果應(yīng)該更好一些.

師：看來大家的意見不是很統(tǒng)一啊！那就讓我們親自驗證一下吧！請同學們按照求曲線方程的步驟得出三種方案的拋物線方程.（提示：不妨設(shè)焦點F到準線的距離為p（p>0）.）

（一段時間后，找小組代表上黑板展示過程，師生共同點評）

方案一 方案二 方案三

師：同學們，哪種簡單啊？

生眾：方案三.

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)，通過有啟發(fā)性的活動，使學生在分析探究中，不斷獲得解決問題的方法，有效解決教學重難點.

師：我們把方案三得到的方程叫拋物線的標準方程.注意這里標準的規(guī)范是頂點在原點，圖象關(guān)于x 軸對稱.（教師板書：拋物線的標準方程）

3.新知應(yīng)用，鞏固提高

例1：求下列拋物線的焦點坐標、準線方程：

（1）， （2）

【設(shè)計意圖】熟悉焦點、準線與標準方程的關(guān)系.強調(diào)解決拋物線問題時要先轉(zhuǎn)化為標準方程.

例2：請同學們參照上面的例題，自編一道題目.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生創(chuàng)新、發(fā)散思維.

l結(jié)語

為了充分調(diào)動學生的積極性，本節(jié)采用“引導探究”式的教學模式，貫徹“教師為主導，學生為主體，探究為主線”的教學思想，通過教師的適時引導，生生、師生間的交流互動，啟迪學生思維；讓學生構(gòu)建自己的知識體系，體驗合作學習的快樂.

參考文獻

拋物線的標準方程范文第4篇

關(guān)鍵詞： 非退化二次曲線 標準方程 切線方程

高中數(shù)學中解析幾何這部分內(nèi)容里常有計算曲線的切線類問題，通用的方法是用代入法，即先把直線方程代入曲線方程，消去一元y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式=0確定切線斜率，展開運算.這種方法運算量相當大，很容易出錯.下面對非退化二次曲線的切線問題進行歸類比較，得出簡單的公式，可以幫助我們輕松地解決此類問題.

1.圓的標準方程x■+y■=R■，過圓上一點P（x■，y■）的切線方程為xx■+yy■=R■.

這個結(jié)論容易證明.

證明：直線OP的斜率K■=■

過P點的切線方程為：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）

整理得xx■+yy■=R■.

圓的切線可以用求導函數(shù)的方法求斜率，但根據(jù)垂直二線的斜率積為-1，再利用過切點的半徑與切線垂直這一性質(zhì)，就更加容易了.

2.橢圓的標準方程為■+■=1，過橢圓上一點P（x■，y■）的切線方程我們猜想為■+■=1.

證明：曲線在第一象限部分的函數(shù)方程為y=b■

求導得：y′=-■■

過P的切線斜率為k=-■■

過P點的切線方程為：y-y■=-■■（x-x■）

又■+■=1

整理化簡得■+■=1

和拋物線一樣，橢圓在第二、三、四象限部分的函數(shù)解析式略有不同，其證明方法相同.焦點在y軸上的橢圓的標準方程為■+■=1，其切線方程為■+■=1.

3.雙曲線的標準方程為■-■=1，過雙曲線上一點P（x■，y■）的切線方程為■-■=1.

證明方法和橢圓的切線一樣.焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為■-■=1，曲線的切線方程為■-■=1.

4.拋物線標準方程為y■=2px，過拋物線上一點P（x■，y■）的切線方程為yy■=px+px■.

證明：如圖，不妨取P（x■，y■）為第一象限點

曲線在第一象限部分的函數(shù)方程為y=■x■

求導得：y′=■■x■

過P的切線斜率為k=■

過P點的切線方程為：y-y■

=■（x-x■）

又y■■=2px■

整理化簡得yy■=px+px■.

這個結(jié)論是把標準方程為y■=2px化為y■=px+px之后，就容易想到了.證明中省略了對第四象限的部分，其證明方法相同.

拋物線的標準方程范文第5篇

【關(guān)鍵詞】考查的知識、能力、思維；思維障礙，試題解析思路，一題多解，變式與拓展，反思總結(jié)

題目：已知拋物線C：x2=2pyp>0上一點S（m，4）（m>0）到焦點F的距離為|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標為t（t>0）過P點的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值.

波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》的序言中寫道：“中學數(shù)學教學首要的任務(wù)就是加強解題的訓練.”從近幾年的高考試題看，注重對教材中的基礎(chǔ)知識，基本技能，基本方法和基本思想的考查.這道題設(shè)計巧妙，知識覆蓋面廣.對于教師把握新課標要求更高，思維能力更強.能有效檢測教師的專業(yè)能力，教學能力和教研能力.同時又能考查學生基礎(chǔ)知識，基本技能，及解題時注重通性通法.還能培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生的綜合素質(zhì)，達到真正有效的教學.此題通過以下三個方面考查：

（一）考查要求

從知識方面：

（1）考查拋物線的定義，標準方程和簡單的幾何性質(zhì)；

（2）直線方程，曲線的切線方程及導數(shù)的幾何意義，曲線與方程、不等式等多種知識之間的交叉、滲透和綜合.

從能力方面：

（1）培養(yǎng)學生運算求解能力；

（2）數(shù)形結(jié)合能力及識圖、析圖數(shù)據(jù)處理能力；

（3）化歸轉(zhuǎn)化能力，使學生知識形成系統(tǒng)性，各種能力得到整合，獲得全面發(fā)展.

從思想方法：

（1）幾何問題代數(shù)化；

（2）數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)與形的完美結(jié)合的思想；

（3）函數(shù)與方程的基本思想.

（二）學情分析

（1）第一小題考查拋物線的定義及幾何性質(zhì)難度中等偏易的題，學生易錯點是求拋物線的準線方程，正確理解拋物線的定義；

（2）第二小題涉及太多點的坐標是未知的，首先應(yīng)克服心理關(guān).注意解題時的通性通法.繁難的計算如何逐步分解，盡量減少未知量分別求出Q，M，N的坐標，對于MN是曲線的切線，利用切線的幾何意義的處理.大部分的學生有一定的困難，或者理解M點在過N點的切線方程.涉及函數(shù)方程的思想方法求t的最小值是此題的難點，如何突破難點？怎樣讓學生構(gòu)建一個有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識體系，使學生各種能力得到整合，獲得全面的發(fā)展.通過對本題分析講解，一題多解，拓展與變式得以鞏固.

（三）析題

切入點：對問題（1）準確理解拋物線的定義，求m，p；對問題（2）減少未知量使用，用t表示P，Q，M，N點的坐標，利用數(shù)形結(jié)合，把幾何問題代數(shù)化.

關(guān)鍵點：分別求出P，Q，M，N的坐標，準確理解MN是曲線C的切線與N的導數(shù)值關(guān)系.存在P點就是PQ的斜率存在，關(guān)于k的方程有解.利用函數(shù)方程的思想，求t的最小值.

（四）解題

圖1

（1）解拋物線的準線y=-p2，則FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在拋物線上，m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）過P點（t，t2）斜率存在的直線方程可設(shè)y-t2=kx-t，聯(lián)立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.設(shè)Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的兩根，則x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直線QN與PQ垂直直線QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），聯(lián)立方程組y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

則又x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切線，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

關(guān)于k的方程有解則，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），t≥23，t的最小值23.

點評先確定PQ的直線方程，聯(lián)立方程組求出M，Q點坐標.QN與PQ垂直，確定QN的直線方程，求出N點坐標.直線MN與曲線C相切，利用導數(shù)的幾何意義，整理出關(guān)于t，k的方程，方程有解，從而求t的最小值.解題時注意通性通法，在不同知識交匯處要進行有效整合.解析幾何常常用“山重水復疑無路，柳暗花明又一村.”

第二小題解法2：設(shè)Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，則直線MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因為NQQP，且兩直線斜率存在，所以kPM?kNQ=-1.即2t22t-x0?x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直線PM上，則MQ與MP共線，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

點評分別設(shè)出P，Q，N的坐標，利用直線MN，求出M點坐標，直線PM與NQ互相垂直，又M，Q，P三點共線，用t表示x0，整理得關(guān)于x，t的函數(shù)利用均值不等式求t的最小值.第二種解法利用三點共線應(yīng)用曲線方程與不等式知識的有效結(jié)合.

（五）變式與拓展

變式1已P知拋物線C：x2=2pyp>0，其焦點F到準線的距離12.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過M（0，1）作兩條直線l1，l2，l1與拋物線交于點A，B，l2與拋物線交于E，F(xiàn)，且直線AE，BF，且直線AE，BF交于點P，直線AF，BE交于Q點，求證：MP?MQ是定值.

變式2已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（C>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當點Px0，y0為直線l上的定點時，求直線AB的方程.