初中數學求動點最值的方法
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初中數學求動點最值的方法范文第1篇
一、問題原型：
（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經典問題。解這類問題
二、基本解法：
對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置，計算線路最短長度。
三、例題解析與歸納經驗
例1.要在河邊修一個小泵站，分別向張村和李莊送水，問水泵站應建在河邊的什么地方，可便所用的水管最短？
分析：如何證明兩線段和最短？考慮到初一學的線段公理“兩點之間，線段最短”，那么，如何把這兩條線段轉化成一條線段呢？此時，軸對稱的性質，對稱軸是軸對稱連線的中垂線。作點A關于直線l的對稱點A'，連結A'B直線l于P點，此時，兩線段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。
例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x軸上找一點P，使AP+BP最短。此時AP+BP的長為_______
分析：（與例1方法相同）過點P作水平線，過點P作垂直于x軸直線，兩直線交于點C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的長為5。
例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中點，點P是對角線AC上的一個動點。求PM+PB的最小值是________________.
分析：根據菱形的軸對稱性可知，點B關于對角線AC的對稱點就是點D，連結PD. 則PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是點DM的值。因為四邊形ABCD是菱形， ∠BAD=60°，ABD是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以DM是ABD高線。又因為AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。
例4.正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形 ，點E在正方形ABCD的內部，在對角線AC上有一點P，求PD+PE的最小值____________.
分析：根據正方形的軸對稱性可知，點D關于對角線AC的對稱點就是點B，連結PB，則BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值為BE。因為正方形ABCD的面積為12， 則AB=2，又因為ABE是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。
歸納經驗：此類問題的共同特點是將兩條線段的和轉化為一條線段，這條線段的長度就是最短距離，怎樣找到這條線段呢？步驟如下（以最后一題為例）
1.動點P在AC直線上運動，這條直線AC即為對稱軸。
2.找出（或作出）點D關于這條直線的對稱點B
3.連結BE，BE即就是這條線段。BE的長度即是最短距離，（當PD+PE取最小值時，點P就是BE與對稱軸的交點.。
4.利用所學的知識，求BE的長度。
初中數學求動點最值的方法范文第2篇
二次函數壓軸題能考查綜合運用知識的能力，具有知識點多、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活等特點，因此是中考數學的難點.不過，如果我們能在做習題的基礎上多總結一些方法，發現一些規律，有些難點就能較快突破.下面我們就一類二次函數與三角形面積的最值問題，來探求其中方法與規律.
一、規律發現
引例 已知二次函數y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（A左B右），與y軸交于點C，連接BC，點P為直線BC上方拋物線上一動點，求PBC面積的最大值及此時點P的坐標.
【解析】本題為求三角形面積最值問題，可以采用平行線法或構造二次函數模型求最值等兩種思路來解決問題.
解法1：如圖1，易求直線BC的解析式為：y=-x+3，所以可設直線l為y=-x+b.過點P作直線l∥BC，則多數情況下，直線l與拋物線有兩個交點，此時SPBC顯然不是最大；當直線l與拋物線有唯一交點（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）時，點P到BC的距離最大，因此SPBC最大.①代入②化為一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，當Δ=0時，方程有兩個相等實數根，即b=[214].將b的值代回原方程組，可得此時點P的坐標為[32，154]，再由P、B、C點坐標可求得PBC的面積最大值為：[278].
解法2：如圖2，同樣求得直線BC的解析式為：y=-x+3.過點P作直線垂直于x軸，交直線BC于點D.
因為點P在拋物線上，所以可設點P坐標為（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），點D在BC上，因此坐標為（n，-n+3）；以PD為底邊，設PDC的高為h1，設PDB的高為h2，則h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.
SPBC=SPDC+SPDB=[12]PD?h1+[12]PD?h2
=[12]PD?（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD
=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.
這樣，SPBC就是關于n的二次函數，根據二次函數性質易得當n=[32]時，SPBC的最大值為[278]，此時點P坐標為[32，154].
【發現1】在解法1中，當三角形面積取得最大值時，只存在一個PBC，但當面積縮小時，可能同時存在兩個不同的PBC；
【發現2】在解法2中，將PBC進行縱向切割，將其分割為兩個底邊都為PD的三角形，它們的高的和就是BC兩點的橫坐標的差；
【發現3】注意觀察兩種解法中，當三角形面積取得最大值時，點P的橫坐標是[32]，而點C的橫坐標為0，點B的橫坐標為3，可以理解為點P的橫坐標恰好是線段BC中點的橫坐標.其實這種情況并不是巧合，是一種規律，是可以用數學方法證明的.（有興趣的同學可以拋物線y=ax2+bx+c和直線y=mx+n（am≠0）的交點是（x1，y1），（x2，y2）為一般情況進行證明，這里就不贅述.）
二、試刀中考
例1 （2016?江蘇蘇州）如圖3，直線l∶y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；
（3）略.
【解析】（1）方法略，函數解析式為：y=-x2+2x+3；
（2）本題初看與上面的引例不同，但其拋物線上的動點，及計算三角形面積的最值都與引例類似，可用解法2的方法求解問題，不過考慮到縱向作垂線分割三角形計算有一定的困難，可以采用橫向作垂線分割三角形，縱向距離為高.
如圖4，過點M作MEy軸于點E，交AB于點D，可設點M坐標為（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐標為：
[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，
S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM?OB
=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.
然后可由二次函數性質求出最大值為[258].
【評析】在平面直角坐標系中研究一些圖形的面積時，可采用割補法將復雜、不規則的圖形分割成若干個三角形計算.分割時要注意以下幾點：①分割后的三角形面積應該容易計算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.
如本題中也可連接OM，計算四邊形BOAM的面積減BOA的面積.有時可能要進行多次嘗試，才能找到更為簡單的計算三角形面積的方法.
例2 （2010?江蘇徐州）如圖5，已知二次函數y=-[14]x2+[32]x+4的圖像與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC.
（1）點A的坐標為 ，點C的坐標為 ；
（2）線段AC上是否存在點E，使得EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個？
【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.
（2）易得D（3，0），CD=5.直線AC對應的解析式為y=[-12]x+4，分三種情況討論：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三個點E的坐標分別為：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.
（3）本題思路較為難覓，關鍵要理解“S取何值時，相應的點P有且只有2個”這句話的意思：其實只要考慮S的取值范圍（即最大值與最小值），然后探討在S取不同數值時的點P的個數即可.在求S的取值范圍時，還要對點P所在的位置進行討論，當點P的位置在AC上方時，就可以用引例中的兩種方法求S的最大值，我們以第二種方法來解.
過P作PHOC，垂足為H，交直線AC于點Q.設P（m，-[14]m2+[32]m+4），則Q（m，-[12]m+4）.
① 當點P在AC上方時，即0
此時當且僅當S=16時，相應的點P只有1個，當0
② 點P在AB之間時，即-2
故S=16時，相應的點P有且只有兩個.
【評析】本題的第（3）題問法比較難理解，尤其是“相應的點P有且只有2個”，這需要對此問題有一定的研究經驗，知道引例中的平行線研究方法的原理（關鍵是不同面積數值與點P的個數的對應關系），否則不容易聯想到要考慮PAC面積的取值范圍.當然，在具體計算S的最大值時，還是用設坐標，用含m的代數式表示PAC的面積的方法更為簡潔一些.
初中數學求動點最值的方法范文第3篇
關鍵詞：初中數學； 二次函數； 三角形面積問題
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）10-035-001
一、拋磚引玉
建模：已知直角坐標中點B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出順次連結這三點的三角形的面積。
引導問題：在平面直角坐標系中畫出BCD的圖形。探索根據已知三點的坐標如何來求出BCD的面積。在求BCD時遇到困難時能否用數學的“割補法”幫助你解決這個問題。請你提出你的觀點并大膽地嘗試。
教學感悟：本次建模是為下面引出問題作下伏筆，我們盡可能讓學生提出不同的分割思想，讓學生提出不同的見解，說出不同的解決問題方法。
二、構建例題
例題：如圖（7）已知拋物線圖象過A（-1，0），C（0，3）且對稱軸為直線x=1。
（1）求拋物線的解析式，圖象與x軸的另一個交點及頂點D的坐標；（2）求DCB的面積。
引導問題：求二次函數的解析式有哪三種方法？本題采用哪一種方法解題比較簡單？求DCB面積時我們需要做些什么準備工作？B、C、D坐標求出后三角形面積如何求？它與上述的模型有類同之處嗎？如有類同，哪些分割法比較適宜本題？請你試試并求出答案。
設計意圖：通過本題學習使學生進一步掌握二次函數解析式的三種不同的表達式，讓學生體會到不同的選擇帶來不同的簡便效果，進一步讓學生掌握平面直角坐標中求斜三角形面積的不同分割方法。
變式題1：如圖（8），已知拋物線與坐標軸交于C、B兩點，D是直線BC上方的二次函數的一點動點，（點D與B、C不重合），點D運動到什么位置時DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。
引導問題：（1）從例題到變式題，兩題都是求三角形面積，兩者是否存在差別。（2）變式題中已知二次函數解析式能求出B、C的坐標并能求出BC的長，當點D與到直線BC距離最大時DBC面積最大？你會不會求出D與到BC最大距離，如不能，你用什么方法來解決你的問題？二次函數最值問題對你解決問題是否有幫助呢？如有幫助，那么如何建立DBC面積關于點D的坐標的函數關系式？建模中的三角形分割思想對你解決本題有什么啟發？
變式題2：已知拋物線y=-x2+2x+3與直線y=-x+1交于C、B兩點，D是直線上方BC的二次函數的一點動點，（點D與B、C不重合），點D運動到什么位置時三角形DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。
引導問題：變式題（2）與變式題（1）有什么區別與聯系？它們有類同點嗎？如有類同則上題幾種解題方法能適應本題嗎？在這幾種方法中哪種方法比較簡便，能不能用上面感悟的方法來解決本題？請你試試。
略解：過D作DE//y軸交BC于點E，DE//y軸，xp=xE，點D的坐標（x，-x2+2x+3），點E坐標（x，-x+1），
變式題3：已知拋物線y=-x2+2x+3與y=-x+1直線交于點C，與x軸于點B，D是直線BC上方拋物線上一個動點，（點D與交點不重合）點D運動到什么位置時DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。
引導問題：變式題（3）與變式題（2）有區別和聯系嗎？這兩題的主要不同之處在哪里？能不能用相同的方法求解。
透析：隨點D的運動位置不同，DBC將出現以下三種不同的圖形：
我們發現SDBC=■DFxB-xC，當直線與二次函數的解析式確定，B、C的坐標也就確定，SDBC面積與DF的長度有關，當DF有最大值時，SPBC的面積也存在最大值。
略解：過D作DF//y軸，交直線BC于點F，DF//y軸，xD=xF，點D的坐標（x，-x+1），點F坐標（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。
初中數學求動點最值的方法范文第4篇
【關鍵詞】 動 靜 參數
一 、 以"靜"克"動"
1.參數法
①直角坐標參數法
例1（2013四川德陽，24，14分）如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCO（0為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0 ， 6），將BCD沿BD拆疊（D點在OC邊上），使C點落在OA邊的E點上，并將BAE沿BE拆疊，恰好使點A落在BD邊的F點上.
（1）求BC的長，并求拆痕BD所在直線的函數解析式；
（2）過點F作FGx軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線 經過B、H、D三點，求拋物線解析式；
（3）點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B， D點），過P作PNBC，分別交BC和BD于點N、M，是否存在這樣的點P，使 ，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.
解：（1），（2）略
（3）P在拋物線上，P（x， ），M（x， ），N（x，6）， ，PM=MN，即： . ， ，
， .當 時， ，
當 時， ，P（ ，2）或P（ ，6），
P不與B重合，P（ ，6）舍去，點P的坐標是（ ，2）.
說明：坐標參數法是把動點的坐標用未知參數體現運動特點表示出來，這樣動點就可以象定點那樣參與運算，使"動"的對象過渡到"靜"的對象，然后利用用運動規律列出含有參數的關系式，最后解出所設的未知參數.這類問題在這幾年的中考卷中出現比較多.
②一般參數法
例2如圖，P與x軸相切于坐標原點O，點 A（0，2）是P與y軸的交點，點B（-2 ，0）在x軸上， 連結BP交P于點C，連接AC并延長交x軸于點D.
（1）求線段BC的長；
（2）求直線AC的函數解析式；
（3）當點B在x軸上移動時，是否存在點B，使BOP∽AOD？若存在，求出符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由.
解：（1）BC=2；
（2）如圖，過點C作CEx軸于E，CFy軸 于F，在PBO中，CF∥BO， 即 .解得CF= 同理 ，可解得CE= 因此點C坐標為（- ， ）.設直線AC的函數解析式為y=kx+b.由于直線AC過A（0，2），C（- ， ）兩點. 所以有 ，解得 所求函數解析式為y= x+2.
（3）略.
說明：參數法是數學中很重要的解題方法，在解決"動"的問題中，也往往利用參數這一"法寶"，充分運用變"動"為"靜"的辨證關系，所有的與"動"有關的因素，即動因都可以用參變量來描述.這樣，就可以與“不動”因素一起參與運算了。
2.特殊位置法
例3 如圖，已知AB是O的直徑，直線MN與 O相交于點E，F，ADMN，垂足為D.
（1）求證：∠BAE=∠DAF；
（2）若把直線MN向上平行移動，使之與AB相交，其它條件不變，請把變化后的圖形畫出來，并指出∠BAE與∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必證明）？
解：（1）略；
（2）使MN過O點，（如右圖）在這種特殊位置時，就很 容易看出關系式∠BAE=∠DAF仍然成立.
說明：本題利用了MN在移動中的特殊位置，使問題變得既簡單又明了.這是與"動"有關的巧妙方法.
3.數學模型法
例4 如圖所示，RtABC≌RtDEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a，當兩個三角形沿直線FC移動時，求圖中陰影部分的面積的最大值.
解：顯然有ABC≌DEF設MB=x，則由已知可得AB=a，AM=a-x， ∠A=∠AMK=60°.EC=BF= x，BC= a，AMK為等邊三角形 S陰影=SABC -SAMK -SNEC = BC×AB- AM× AM - × x 2 = × a2- （a-x）× （a-x） - × x 2= a2- （a-x）2- x2= （2ax-2x2）= - x2+ax。 當x= a 時，陰影部分的最大值是 a 2， S陰影 = a2 .
說明：許多運動中的最值問題往往借助于函數知識，利用函數中的定義域和二次函數的最值求解.所以往往采用建立函數模型.使動的對象通過設的未知量，而和如"靜"的對象一樣參與運算，從而達到目的.當然還有方程模型，不等式模型（此問題與2006年呼和浩特市的中考題相同，只不過呼市的問題中AB是一個常數 . ）
二、 以"動"克"靜"
1.位置無關法
例5 如圖1， 在矩形ABCD中， 橫向陰影部分是矩形，另一陰影部 分是平行四邊形.依照圖形標注的數據計算圖形空白部分的面積，其面積是（ ）
A. bc-ab+ac+c B.ab-bc-ac+c
C. a +ab+bc-ac D.-bc+a -ab
說明：本題把陰影矩形動起來，平移到圖2的位置，問題就容易得多.因為本題中僅僅與圖形的面積有關，與圖形的位置無關.這類問題往往是采用使靜的圖形動起來，運動到與解題相當有利的位置.本題的正確答案是B.
2.等價變換法
例6 已知如圖1，AB為過圓心 O的直線，弦CD∥AB . 弧DC的度數 為60°，如果O的半徑為r，求圖中 陰影部分的面積.
解：如圖2所示，把點B平移到O點，即連結OC和OD.則圖2中的陰影部分的面積就等于圖1中陰影部分的面積.而圖2中的陰影部分的面積就是扇形，就容易求了.為 πr .
說明：點B從原來的位置平移到圓心O得到扇形OCD，實際上是一種等積變形.即從"靜"到"動"實現等價變換.
3.定值問題
例7 已知，如圖，三角形ABC中，AB=AC，過BC上 一點D作垂線交兩腰所在的直線于E，F.求證：DE+DF為定值.
分析：由等腰三角形ABC及DFBC于D，可以得到當動點D到達BC中點時，可確定所求的定值為2AH.
證明：過A作AHBC于H，則BDE∽CDF∽BHA.
① ， ②，又BH=CH. ①+② 得 = = = =2.DE+DF=2AH. 而AH為定值.DE+DF為定值.
說明：幾何中的定值問題，往往是尋找某些運動中幾何圖形的特殊位置.從這些特殊位置中再去尋求不變量即定值.從而使問題得以解決.
4.構造法
例8 已知如圖，ABC中，AB=AC，∠APB>∠APC，求證：PC>PB.
證明：將ABP繞A點向逆時針方向旋轉，使AB與AC 重合，得ACD，連結PD則ABP≌ACD.
AP=AD，BP=CD，∠APB=∠ADC.
AP=AD，∠APD=∠ADP.
∠APB>∠APC，∠ADC>∠APC，∠ADC-∠ADP>∠APC-∠APD.
∠PDC>∠DPC，PC>DC.
說明：本題就是把"靜"的ABP作適當的旋轉運動，得到ACD，使得問題得以解決.這是充分利用"動"與"靜"這對辨證的關系解決問題的最好例子.其實這也可以歸納到構造法中去.
4."確定"與"不確定' "動點"與"定點"的相對性
例9如圖，在矩形ABCD中 ，AB=3，AD=4，P是AD 上的動點.PEAC于E，PFBD于F，則PE+PF的值為（ ）
A. B.2 C. D.
解：把A看成是P點運動過程中的一個動點， 則此時PE=0， PF為RtBAD斜邊上的高線，
AB=3，AD=4，BD= =5.斜邊上的高線AH為 = .應選A .
初中數學求動點最值的方法范文第5篇
【關鍵詞】課題學習;最短路徑問題;實施;交流
序言
最短路徑問題的教學在初中教學中出現有幾種類型，頻繁出現的主要在幾何與函數知識點教學方面，以學生能力提升為主，教師應當在選擇課題時注意此點，采用便捷、靈活的計算方法和技巧，優化教學方法，提高學生解題的效率，培養學生數學邏輯思維能力。
1.課題學習原則
課題學習屬于新穎的學習方式，課題學習課堂上教師需要對教科書或者是相同類型的課題、題型進行有效整合，通過教師的教學引導，綜合運用各種解題方法對課題進行解決，積累更多課題知識，提高自主探究能力，拓展學生學習交流，引發更多學習創新方法，課題學習有關特征主要有四種：主體性，課題學習可以充分體現出學生在學習的過程中是要通過合作討論、自主探索的學習方式，才可以在解決數學問題有清晰的解題步驟和思考思維，以問題作為出發點，然后主動思考問題，體現了學生主體地位突出;探究性，課題學習教學需要教師引導學生對問題進行探究，絕不可直接解答題目反而遏制了學生探究思維的開發，必須要體現課題學習的探究性;綜合性，課題學習所涉及的內容比較廣泛，如果是在初中三年級的話，學習最短路徑問題就會涉及到整個初中數學知識體系，包括的范圍廣，或者還接觸到其他學科中去，體現課題學習的綜合性強的特點;開放性，課題學習不局限與教材的內容，學習本來就具有融會貫通的思維能力，沒有持久不變的題目，只有永恒的邏輯思維，當遇到相類似的題型，就需要學生使用解題技巧和數學理論知識結合起來，教師亦當如此。
2.強化對“課題學習”理論的認識的理解
教師在進行“課題學習”的課堂之前，幫助學生對各個類型的知識點進行回顧，把相關的數學概念和定理整理歸納好，思考各個類型知識點和問題的解決途徑和技巧。同時，教師也需要加固課題學習所涉及的數學知識點和教學的相應技巧與教學方法，充分做好備課工作，深刻認識到“課堂學習”的重要教學理念和實際的教學目標，做好課堂的教學規劃和改善課堂教學流程。
3.規劃“課題學習”教學方案
此次“課堂學習”的教學內容是關于初中數學最短路徑的問題，教師需要根據學生所學過的知識內容進行規劃后課堂教學的方案，分配好各個知識點的最短路徑問題在課堂上利用的時間，知識點的難易程度、解題方法和教學方式會決定所耗費的時間長短。關于最短路徑的問題教師首先收集好典型且具有意義性的題目，并且了解如何進行解答。例如教師可以從螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側面吃食，其原理是線段之和最短的問題或者是數模、函數等方面進行收集相關的數學題目，此外，在題目中還需要對該知識進行拓展，或者構思不同方式的題目，拓展學生思維的界限，教師還應強調由易到難的教學觀念。
例如：
問題一、如圖1，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。
圖1
此問題的要求就是要在直線上找到一個點，這一點要使得直線同側的兩個定點到這點的距離之和要達到最短，此題利用到“兩點間的所有連線中，線段最短”的理論來進行論證求解。除了這一題外還有其他相同類型的題目比如：螞蟻的爬行問題，如圖2是一個長方體木塊，已知AB=5，BC=3，CD=4，假設一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是多少？
圖2
這都屬于最短路徑的數學題目，涉及到幾何體的內容，需要拆開的方式來求證。
問題二、數學知識點不僅僅只有這點，還有關于幾何方面的知識都有最短路徑的探究：
如圖3，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點D在弧線AC上，弧AD等于2倍的弧CD，點P是半徑OC上的一個動點，求AP+PD的最小值是多少？
圖3
這類型的題目需要結合到幾何定理知識來求解。
教師在進行“課題學習”之前就需要對這些類型的題型完全把握好，分析幾何型和數形結合的問題，理清解題的過程，貫穿到哪些方面的數學定理、概論。結合到題目的難易程度或者知識點范圍，可以規劃幾個課時才可以解決，制定明確的課堂流程。
4.利用教學方法促成“課題學習”教學
教師進行改善教學方法，需要考慮到“課題學習”的主要特點來制定相應的教學方法，就從它有主體性的特點來思考。教師可以展開小組合作討論活動，對最短途徑問題進行探索，為學生提高情境教學的環境，提高學生課題學習課程的興趣，培養學生探索思維，創新思維。例如在“問題一”中的第二類型的題目上展開小組討論活動，由于問題難度不算高，教師可以一兩人為一小組，提倡學生利用上現有制作的數學模型展開討論，可以把制作好的長方體標記好有字母的標記，讓學生進行思考探索，學生在探索思考過程中，加上動手的操作，就可以理解到如何進行解決問題。從小組討論的教學方式來說，極好地體現了“課題學習”教學的有效性。此外，教師還應該采用數形結合法來教學，圖像的表達可以把抽象的數學條件，誘導出形象的圖像，加快學生解題速度。
結語：綜上所述，數學問題萬變不離其宗，所有題目或者題型的變化，都可以找到問題的突破口，結合數學理論知識就可以把問題解答，課題學習的關鍵作用使得學生在學習過程中對知識點的回顧，加深對知識的理解，同時可以培養學生的創新思維和探索精神。
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