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摘要針對三維掃描數(shù)據(jù)點的曲面重構(gòu)技術(shù)在實際系統(tǒng)中的應(yīng)用,本文提出了一種NURBS曲面構(gòu)造方法，該方法根據(jù)已知數(shù)據(jù)點逼近目標曲面。通過實際系統(tǒng)應(yīng)用驗證,該方法是一種行之有效的曲面擬合方法。

關(guān)鍵詞數(shù)據(jù)點曲線和曲面重構(gòu)算法

0引言

掃描設(shè)備使用某種有組織的方式頻繁地掃描目標物體，產(chǎn)生多行數(shù)據(jù)點，這些行可能包含有相同或不同的數(shù)據(jù)點數(shù)，每行點的分布可能有較大的變化。本文基于曲面逼近理論，給出了一種NURBS曲面構(gòu)造方法，用來合成目標曲面，并在自行開發(fā)的曲面造型系統(tǒng)中得到了驗證。

給出已知數(shù)據(jù)點的格式如下：

Qi,ji=0…n，j=0…mi

所求曲面為冪次（p，q）的NURBS曲面。已知數(shù)據(jù)點既不保證具有一個矩形拓樸結(jié)構(gòu)，也不保證沿著每行均勻分布，在曲面擬合的過程中，主要解決兩個關(guān)鍵的問題，第一是：彼此獨立的每行數(shù)據(jù)點的曲線逼近；第二是：通過合適的節(jié)點矢量的控制避免數(shù)據(jù)量的大量增加。

1曲線曲面逼近的基本理論

將NURBS曲面表示成有理基函數(shù)形式為：

上式中，Pi，j為控制頂點，Ni，k（u）、Nj，l（v）分別為u，v方向的k次和l次B樣條基函數(shù)，Wi，j為權(quán)因子。權(quán)因子的加入雖然可以增加對曲面的局部控制能力，但權(quán)因子的選取缺乏明顯的幾何意義，為簡化計算將權(quán)值賦1，使式（1）中的分母為1，消除有理式，簡化求解過程。對曲面的u，v方向的次數(shù)選取從使用和表示的效果兩方面考慮，取k=l=3，即工程中常用的三次曲面。曲面上u，v方向的節(jié)點序列的確定中，使每一序列的前端和后端的重復(fù)度為3，保證曲面的邊緣控制點和型值點融合，中間內(nèi)節(jié)點的選取上考慮數(shù)據(jù)點分布不均勻，采用了累積弦長法。通過上述權(quán)值、節(jié)點、次數(shù)的賦值，式（1.1）改變?yōu)椋?/p>

2曲線逼近

構(gòu)成曲面的前提是必需對構(gòu)成曲面的曲線作逼近處理，該處理過程包括曲線的計算、參數(shù)的計算、節(jié)點的選擇和節(jié)點矢量的控制幾個方面：

2.1最小二乘曲線逼近

曲線逼近問題可表述如下：

給出一系列數(shù)據(jù)點r，r=0…m和預(yù)定義參數(shù)t0，…，tm以及預(yù)定義節(jié)點矢量u，

2.2參數(shù)和節(jié)點的計算

參數(shù)的計算與節(jié)點的選擇是相互影響的，如果選擇了不合適的參數(shù)，那么節(jié)點就不可能被正確地選擇，在實際應(yīng)用過程中，通常采用累積弦長參數(shù)化方法：

為控制曲線誤差在允差范圍之內(nèi)，常把最小二乘曲線擬合的過程使用作一個迭代過程，用來調(diào)整控制點的最大下標索引值n及參數(shù)值t。該迭代過程依賴于一個初始參數(shù)，而在已知大量數(shù)據(jù)點的前提下，采用累積弦長參數(shù)化方法所得到的參數(shù)值優(yōu)于使用其它方法得到的參數(shù)值，故采用累積弦長參數(shù)化方法是一個較好的選擇。

節(jié)點矢量的確定在有關(guān)文獻中曾提出了許多種方法，實踐表明可以通過對插值過程中使用的節(jié)點求取平均值的方法來得到所需的節(jié)點值。該算法表述如下：

（1）輸入?yún)?shù)值tr，r=0，…m，p是所求曲線的冪次，n是控制點最大下標索引值；

（2）i從0到p循環(huán)執(zhí)行

ui=t0

un+i+1=tm

結(jié)束i循環(huán)

（3）對變量nc賦初值為n-k-l

對變量inc賦初值（m+1）/（nc+1）

對變量begin、end賦值為0

（4）i從0到nc循環(huán)執(zhí)行

d增加步長值inc

end取值為最接近d的整數(shù)

sum賦初值為0

j從begin到end循環(huán)執(zhí)行

sum對參數(shù)tj求和

wi賦值為sum/（end-begin+1）

begin賦值為end+1

結(jié)束i循環(huán)

（5）對變量is賦初值為1-k

對變量ie賦初值為nc-p+1

對孌量r賦初值為p

（6）i從is到ie循環(huán)執(zhí)行

js取值為0和i中的較大數(shù)

je取值為nc和i+p-1中的較小數(shù)

r增加單位長度1

sum賦值為0

j從js到j(luò)e循環(huán)執(zhí)行

sum對wj求和

下標為r的節(jié)點值ur賦值為sum/（je-js+1）

結(jié)束i循環(huán)

（7）輸出節(jié)點矢量

節(jié)點矢量的選擇對于曲線逼近到給定誤差范圍來說是非常關(guān)鍵的，要使誤差越小，則要求n越接近于m值，反之也要求矢量盡量接近于插值曲線的節(jié)點矢量，否則，所得曲線可能出現(xiàn)變形和不穩(wěn)定。

2.3曲線逼近過程中節(jié)點矢量的控制

圖1.1選擇節(jié)點矢量后生成的曲線（n=6，p=3）

從圖上可以看出，盡管節(jié)點矢量的值有一定的偏差，但曲線并沒有明顯的偏移。實踐表明，取PER為100%，幾乎可適用于所有的實際應(yīng)用過程。

通過節(jié)點矢量的控制，使得各條曲線具有許多共同的節(jié)點，在作曲線兼容性處理時，僅有很少的節(jié)點需要被插入，從而使得合成曲面的節(jié)點數(shù)得到有效控制。

2.4期望精度內(nèi)的曲線逼近

要使一條成功擬合的曲線更簡潔，應(yīng)該盡可能減少控制頂點數(shù)，另一方面又要保證每一條擬合曲線的偏差不超出期望精度的范圍，這樣擬合而成的曲線，即在允差內(nèi)由最少的控制頂點數(shù)定義的曲線稱為優(yōu)化曲線。在前面討論的曲線逼近算法中已預(yù)先確定控制頂點數(shù)，在實際應(yīng)用過程中，控制頂點數(shù)需根據(jù)所要求的誤差范圍來確定。下面是對上述算法的改進：

(1)根據(jù)采樣數(shù)據(jù)點計算參數(shù)值；

(2)初始定義控制頂點數(shù)，用上述逼近算法作曲線逼近，同時相應(yīng)地修改候選節(jié)點矢量；

(3)計算曲線誤差，根據(jù)誤差來調(diào)整控制頂點數(shù)，使誤差控制在給定范圍ε之內(nèi)；

(4)通過增加新的節(jié)點來修改候選節(jié)點矢量；

(5)輸出所得曲線C及修改后節(jié)點矢量u

由于無法確定逼近已知數(shù)據(jù)點的曲線所需的控制頂點數(shù)，故最初給出一個近似的估計，然后使用前面討論的逼近算法的一個迭代過程來調(diào)整曲線誤差及相應(yīng)的控制頂點數(shù)，最后得到所需曲線和增加相應(yīng)節(jié)點后的節(jié)點矢量。

如果每一條擬合曲線的誤差均小于誤差精度，同時使用最少的控制頂點數(shù)，則擬合成功，否則是不成功的，需要調(diào)整控制頂點數(shù)，可用二分控制頂點數(shù)間隔范圍的查找法來實現(xiàn)。

3曲面逼近

綜上所述，曲面逼近過程可表述如下：

圖1.2所示即為擬合而成的曲面。

圖1.2擬合而成的曲面

4結(jié)論

本文提出了一種根據(jù)已知數(shù)據(jù)點逼近曲面的方法，實踐表明，該方法不失為一種行之有效的曲面擬合方法。在三維掃描數(shù)據(jù)點的曲面重構(gòu)技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域中具有較好的實用意義。

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