前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇雙曲線的定義范文，相信會(huì)為您的寫作帶來(lái)幫助，發(fā)現(xiàn)更多的寫作思路和靈感。

雙曲線的定義范文第1篇

1 找出已知橢圓的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)

步驟如下：

圖1

1.利用文[1]的方法找到橢圓的中心O;

2.如圖1，在橢圓上任找一點(diǎn)A（不是橢圓的

頂點(diǎn)），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與橢圓

的其余三個(gè)交點(diǎn)分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過(guò)點(diǎn)O分別作AB、AD的

平行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是橢圓的

兩條對(duì)稱軸;

4.直線l1與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，直線l2與橢圓交于G、H兩點(diǎn)，則E、F、G、H是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn);

5.比較OE與OG的大小，若OE>OG，則EF是長(zhǎng)軸，GH是短軸;若OE<OG，則EF是短軸，GH是長(zhǎng)軸（圖1中OE<OG，所以EF是短軸，GH是長(zhǎng)軸）;

6.以E為圓心，OG為半徑作圓，與直線l2交于F1、F2兩點(diǎn)，則F1、F2就是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

備注 若點(diǎn)A恰好是橢圓的頂點(diǎn)，則該圓與橢圓只有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一個(gè)是點(diǎn)A），此時(shí)，可對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行調(diào)整，使得點(diǎn)A不是橢圓的頂點(diǎn).

下面給出該作法的證明.

證明 如圖1，不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圓的方程為x2+y2=x20+y20.由于橢圓和圓都關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為x0，-y0、-x0，-y0，于是直線AB、AD的方程分別為x=x0、y=y0，所以直線l1、l2的方程分別為x=0、y=0，所以直線l1、l2就是橢圓的兩條對(duì)稱軸.

因?yàn)镺E=b，EF1=a，所以O(shè)F1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

2 找出已知雙曲線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)

步驟如下：

圖2

1.利用文[2]的方法找到雙曲線的中心O;

2.如圖2，在雙曲線上任找一點(diǎn)A（不是雙曲線的

頂點(diǎn)），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與雙曲線

的其余三個(gè)交點(diǎn)分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過(guò)點(diǎn)O分別作AB、AD的平

行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是雙曲線的兩條對(duì)稱軸;

4.直線l2與雙曲線交于E、F兩點(diǎn)，則E、F是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn);

5.以O(shè)為圓心，OE為半徑作圓C1;

6.過(guò)點(diǎn)D，利用文[3]的方法作雙曲線的切線l3，與C1交于點(diǎn)G;

7.過(guò)點(diǎn)G作l3的垂線，交l2于點(diǎn)F2，作點(diǎn)F2關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)F1，則點(diǎn)F1、F2就是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).

備注 若點(diǎn)A恰好是雙曲線的頂點(diǎn)，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一個(gè)是點(diǎn)A），此時(shí)，可對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行調(diào)整，使得點(diǎn)A不是雙曲線的頂點(diǎn).

關(guān)于雙曲線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的證明方法與橢圓的證明類似，此處不再贅述.下面證明F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).

證明 如圖2，不妨設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠±a，點(diǎn)G的坐標(biāo)為m，n.

因?yàn)辄c(diǎn)D在雙曲線上，所以x20a2-y20b2=1，即

x20=a2+a2y20b2………①.

點(diǎn)G在圓C1上，所以m2+n2=a2………②.

切線l3的方程為x0xa2-y0yb2=1，而點(diǎn)G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，兩邊平方，化簡(jiǎn)可得

2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.

因?yàn)镚F2l3，所以直線GF2的斜率為-a2y0b2x0，所以直線GF2的方程為y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得點(diǎn)F2的橫坐標(biāo)為xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，將③式代入該式子，可得

x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.

將②式代入，可得

x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.

將①式代入，可得

x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20

=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20

=a4b2y20+a6y20a4y20

=

a2+b2=c2，所以xF2=c，于是點(diǎn)F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，從而點(diǎn)F1是雙曲線的左焦點(diǎn).

3 找出已知拋物線的焦點(diǎn)

步驟如下：

1.利用文[2]的方法找到拋物線的頂點(diǎn)O和對(duì)稱軸l;

2.如圖3，在拋物線上任找一點(diǎn)A（不是拋物線的頂

點(diǎn)），過(guò)A作ABl于點(diǎn)B，作點(diǎn)B關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)

C，連接AC;

3.過(guò)點(diǎn)A作ADAC，交對(duì)稱軸l于點(diǎn)D;

4.取CD中點(diǎn)為F，則點(diǎn)F就是拋物線的焦點(diǎn).

下面給出該作法的證明.

圖3

證明 不妨設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠0，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為x0，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為-x0，0.于是直線AC的斜率為y0-0x0--x0=y02x0，直線AD的方程為y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為x0+p，0，所以CD中點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2，0，所以點(diǎn)F就是拋物線的焦點(diǎn).

參考文獻(xiàn)

[1] 張偉.使用幾何畫板如何找出已知橢圓的中心[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（7）：23.

[2] 黃偉亮.使用幾何畫板找出雙曲線的中心和拋物線的焦點(diǎn)[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（3）：65.

雙曲線的定義范文第2篇

【關(guān)鍵詞】易錯(cuò)點(diǎn)；限制條件；焦點(diǎn)位置；隱含條件；一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況

在學(xué)習(xí)新教材選修2-1中的圓錐曲線內(nèi)容時(shí)，學(xué)生感覺(jué)還是比較困難，通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)查了解，主要有兩個(gè)方面的問(wèn)題，一是此部分涉及的計(jì)算量比較大；二是有許多易錯(cuò)的地方會(huì)使學(xué)生不小心掉入陷阱。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，大家的共識(shí)是只有做題時(shí)養(yǎng)成不“跳步”的習(xí)慣、計(jì)算時(shí)能注意掌握一些解題技巧，就可以解決；對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，大家感覺(jué)還是比較頭疼。為了更好的幫助大家解決這個(gè)問(wèn)題，我們進(jìn)行了如下的歸納和總結(jié)。

一、在對(duì)橢圓的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯(cuò)點(diǎn)：

1、注意橢圓定義的限制條件。

問(wèn)題1.若方程表示橢圓，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

錯(cuò)解：實(shí)數(shù)k的取值范圍是（5，7）。

正解：且，實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

分析：此題要考察的是對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，錯(cuò)解中忽略了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的限制條件：a>b>0， 因?yàn)楫?dāng)a=b>0是方程表示圓，而不是橢圓。可見(jiàn)，準(zhǔn)確的理解橢圓的定義，注意定義中的限制條件，對(duì)于避免和減少解題過(guò)程的失誤，保證解題的正確性很重要。

2、注意橢圓焦點(diǎn)位置的討論。

問(wèn)題2.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為并且焦距為6，求實(shí)數(shù)m的值。

錯(cuò)解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知

，

。

正解：

1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知

，

；

2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，，，又；故或。

分析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要進(jìn)行分類討論，而錯(cuò)解中忽略了對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置的討論。可見(jiàn)，涉及圓錐曲線方程的問(wèn)題，如果沒(méi)有指明焦點(diǎn)所在的位置，一般都會(huì)有兩種可能的情況，不能順著思維的定式，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上或y軸上去求解。

3、注意橢圓的范圍的討論。

問(wèn)題3.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)到橢圓的最遠(yuǎn)距離是，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

錯(cuò)解：設(shè)橢圓方程為

，

則，，

即.設(shè)橢圓上的點(diǎn)到P點(diǎn)距離為d，

則

.

當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值，

，

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

正解：設(shè)橢圓方程為，

則，，

即.設(shè)橢圓上的點(diǎn)到P點(diǎn)距離為d，

則

.

若，則當(dāng)時(shí)，有最大值，從而d有最大值，于是，從而解得與矛盾。

必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，有最大值，從而d也有最大值，，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

分析：在錯(cuò)解中“當(dāng)時(shí)，有最大值”這一步的推理有問(wèn)題，沒(méi)有考慮橢圓方程中的取值范圍。仔細(xì)思考，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，要分類討論。

二、在對(duì)雙曲線的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯(cuò)點(diǎn)：

1.注意雙曲線定義的限制條件。

問(wèn)題1.已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，當(dāng)a為3和5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡分別是（ ）

A.雙曲線和一條直線；B. 雙曲線和一條射線；C.雙曲線的一支和一條直線；D.雙曲線的一支和一條射線；

錯(cuò)解：10，當(dāng)時(shí)，，故P點(diǎn)的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，10，故P點(diǎn)的軌跡為一條射線。故選B.

正解：，而不是，當(dāng)時(shí)，，故P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支；當(dāng)時(shí)，10，故P點(diǎn)的軌跡為一條射線。故選D.

分析：錯(cuò)解中忽略了雙曲線定義中的限制條件是“差的絕對(duì)值”，因此，當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支。大家解題時(shí)要注意：當(dāng)，即時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其中，取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右（上）支，取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左（下）支；當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是分別以點(diǎn)或?yàn)槎它c(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡不存在。

注意方程表示雙曲線的條件問(wèn)題。

問(wèn)題2.若方程表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解：。

正解：或

分析：錯(cuò)解中只考慮了雙曲線焦點(diǎn)在x軸的情況，忽略了焦點(diǎn)在y軸的情況，與橢圓中類似，在不確定焦點(diǎn)位置時(shí)，需要分類討論。

3、注意雙曲線中的隱含條件問(wèn)題。

問(wèn)題3.已知P是雙曲線上一點(diǎn)，，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，求的值。

錯(cuò)解：，

且，.

正解：10由雙曲線的圖形可得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離.又，且，（舍去）或.

分析：錯(cuò)解中忽略了雙曲線中的一個(gè)隱含條件，即雙曲線上的點(diǎn)到任一焦點(diǎn)的距離都大于等于，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個(gè)。這是許多學(xué)生解題中容易出錯(cuò)的地方。

4、注意雙曲線的焦點(diǎn)位置的討論。

問(wèn)題4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

錯(cuò)解：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：。

正解：1）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或

分析：這里錯(cuò)解的原因還是沒(méi)有弄清雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，需要注意的是：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，

漸近線方程為：；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，

漸近線方程為：。

5、注意直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況。

問(wèn)題5：已知過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值。

錯(cuò)解：由題意，則：，

有：

。

正解：由題意，則：，

有：

若，此時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

若，則

綜上可知，直線的斜率為。

分析：錯(cuò)解的原因是忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，也是直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況；從方程解的情況來(lái)看，也沒(méi)有注意當(dāng)形如二次方程時(shí)若二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)，需要進(jìn)一步的討論。

在對(duì)拋物線的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯(cuò)點(diǎn)：

1、注意拋物線定義中的限制條件。

問(wèn)題1.已知點(diǎn)P到的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程。

錯(cuò)解：由拋物線定義知，點(diǎn)P的軌跡為拋物線。焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的方程為.

正解：設(shè)點(diǎn)，

依題意有：，此為所求的軌跡方程。

分析：點(diǎn)P到的距離與到直線的距離相等，的確滿足拋物線的定義，但是，故此時(shí)拋物線的方程不可能是標(biāo)準(zhǔn)方程。這里，要特別注意分析定點(diǎn)和定直線是否處于軸的對(duì)稱的兩側(cè)，若是，則很可能是標(biāo)準(zhǔn)方程；否則，應(yīng)該用求軌跡方程的定義法來(lái)求解。

2、注意弄清拋物線中的字母位置和意義。

問(wèn)題2.若拋物線的準(zhǔn)線方程是，求的值。

錯(cuò)解：準(zhǔn)線方程為，.

正解：由.

分析：這里主要的錯(cuò)因是：沒(méi)有正確的理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，應(yīng)該是等式左端為二次項(xiàng)且系數(shù)為1，等式的右端為一次項(xiàng)。大家解題時(shí)一定要注意。

注意直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況。

問(wèn)題3.求過(guò)定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程。

錯(cuò)解：1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：

有，

依題意，，故所求直線的方程為：

或。

正解：1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

當(dāng)時(shí)，則所求直線方程為：，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為：

有，

依題意，，故所求直線的方程為：

或或。

分析：在解題中，考慮直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一般要注意三種情況：一是當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)；二是當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)；三是當(dāng)直線與拋物線相切的情況。

總之，在學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，要注意以上這些誤區(qū)，少走彎路，突破易錯(cuò)點(diǎn)，減少失誤！

雙曲線的定義范文第3篇

雙曲線的通徑是過(guò)焦點(diǎn)，垂直于實(shí)軸的弦，通徑有兩條，長(zhǎng)為2b2/a。

雙曲線的定義為平面交截直角圓錐的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個(gè)固定的點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離差是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這個(gè)固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點(diǎn)的距離。

a還叫做雙曲線的實(shí)半軸。焦點(diǎn)位于貫穿軸上，它們的中間點(diǎn)叫做中心，中心一般位于原點(diǎn)處。平面內(nèi)，到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比為常數(shù)e（e=c/a（e>1），即為雙曲線的離心率）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線。雙曲線準(zhǔn)線的方程為x=±a2/c（焦點(diǎn)在x軸上）或y=±a2/c（焦點(diǎn)在y軸上）。

（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）

雙曲線的定義范文第4篇

例1 某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s. 已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上.）

解析 如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)[O]，正東、正北方向?yàn)閇x]軸、[y]軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)[A，B，C]分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則[A（-1020，0）]，[B（1020，0）]，[C（0，1020）.]

設(shè)[P（x，y）]為巨響發(fā)生點(diǎn)，由[A，C]同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得[|PA|=|PC|]，故[P]在[AC]的垂直平分線[PO]上，[PO]的方程為[y=-x]，因?yàn)閇B]點(diǎn)比[A]點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故[|PB|-|PA|=340×4=1360.]

由雙曲線定義知[P]點(diǎn)在以[A，B]為焦點(diǎn)的雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，依題意得[a=680， c=1020]，

[ b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.]

故雙曲線方程為[x26802-y25×3402=1.]

將[y=-x]代入上式，得[x=±6805].

[|PB|>|PA|]，

[x=-6805， y=6805，]即[P（-6805，6805），]故[PO=68010.]

答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北[45°]距中心[68010m]處.

點(diǎn)撥 時(shí)間差即為距離差，到兩定點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

題型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2 已知雙曲線[C]與雙曲線[x216-y24=1]有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)[（32，2）].求雙曲線[C]的方程.

解析 設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=1]，則[c=25].

又雙曲線過(guò)點(diǎn)[（32，2）]，[（32）2a2-22b2=1.]

又[a2+b2=（25）2]，[a2=12， b2=8].

故所求雙曲線的方程為[x212-y28=1].

點(diǎn)撥 求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求[a，b]. 在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（[a，b，c，e]及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.

題型三 求離心率或離心率的范圍

例3 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，點(diǎn)[P]在雙曲線的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，則此雙曲線的離心率[e]的最大值.

解析 由定義知[|PF1|-|PF2|=2a]，又已知[|PF1|=4|PF2|]，解得[|PF1|=83a]，[|PF2|=23a]，在[PF1F2]中，由余弦定理得，

[cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c22?83a?23a=178-98e2]，要求[e]的最大值，即求[cos∠F1PF2]的最小值，當(dāng)[cos∠F1PF2=-1]時(shí)，解得[e=53]，即[e]的最大值為[53.]

點(diǎn)撥 這是一個(gè)存在性問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解決.

題型四 與漸近線有關(guān)的問(wèn)題

例4 若已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [2] B. [3] C. [5] D. 2

解析 焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，

故[b=2a]，[e2=c2a2=1+b2a2=5]，所以[e=5.]

點(diǎn)撥 雙曲線的漸近線與離心率存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)[a，b，c]的比例關(guān)系可以求離心率，也可以求漸近線方程.

題型五 直線與雙曲線的位置關(guān)系

例5 （1）過(guò)點(diǎn)[P（7，5）]與雙曲線[x27-y225=1]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，求出它們的方程；

（2）直線[y=kx+1]與雙曲線[3x2-y2=1]相交于[A，B]兩點(diǎn)，當(dāng)[a]為何值時(shí)，[A，B]在雙曲線的同一支上？當(dāng)[a]為何值時(shí)，[A，B]分別在雙曲線的兩支上？

解析 （1）若直線的斜率不存在時(shí)，則[x=7]，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)[（7，0）]，滿足條件；

若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為[y-5=k（x-7）]，即[y=kx+5-k7].

代入得，[x27-（kx+5-k7）225=1]，

[25x2-7（kx+5-k7）2=7×25].

即[（25-7k2）x2-14kx（5-k7）+7（5-k7）2-175][=0].

當(dāng)[k=577]時(shí)，方程無(wú)解，不滿足條件；

當(dāng)[k=-577]時(shí)，[2×57x×10=75]方程有惟一解，滿足條件；

當(dāng)[k2≠257]時(shí)，令

[Δ=[14k（5-k7）]2-4（25-7k2）[（5-k7）2-165]=0，]

化簡(jiǎn)得：[k]無(wú)解，不滿足條件.

所以滿足條件的直線有兩條，[x=7]和[y=-577x+10].

（2）把[y=kx+1]代入[3x2-y2=1]整理得，

[（3-a2）x2-2ax-2=0].

當(dāng)[a≠±3]時(shí)，[Δ=24-4a2].

由[Δ>0]得[-6

若[A，B]在雙曲線的同一支，須[x1x2=2a2-3]>0 ，所以[a3].

故當(dāng)[-6

點(diǎn)撥 與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種.一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線，另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條.

題型六 求軌跡方程

例6 雙曲線[x29-y2=1]有動(dòng)點(diǎn)[P]，[F1，F(xiàn)2]是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求[ΔPF1F2]的重心[M]的軌跡方程.

解析 設(shè)[P，M]點(diǎn)坐標(biāo)各為[P（x1，y1），M（x，y）]，

在已知雙曲線方程中[a=3，b=1]，

[c=9+1=10].

雙曲線的兩焦點(diǎn)為[F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0）]，

[ΔPF1F2]存在，[y1≠0].

由三角形重心的坐標(biāo)公式有，

[x=x1+（-10）+103，y=y1+0+03，]即[x1=3x，y1=3y.]

[y1≠0]，[y≠0].

已知點(diǎn)[P]在雙曲線上，將上面的結(jié)果代入已知曲線方程，有[（3x）29-（3y）2=1（y≠0）].

雙曲線的定義范文第5篇

一、利用雙曲線的定義求解

例1：設(shè)F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，以FF為邊作正三角形，若雙曲線恰好平分正三角形的另外兩邊，則雙曲線的離心率是多少？

解：如圖1，在正PFF中，由題意知M為PF的中點(diǎn)，故MF=c，MF=c.由于MF-MF=2a，故c-c=2a，e==+1.

評(píng)注：一般在焦點(diǎn)三角形中經(jīng)常利用雙曲線的定義尋求離心率的關(guān)系。

二、利用雙曲線中的隱含的約束條件求解

例2：已知F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF=4PF，則雙曲線的離心率的范圍為多少？

解：PF=4PF，又PF-PF=2a，

PF=.

又PF≥c-a，

≥c-a，

1＜e≤.

評(píng)注：由于P在雙曲線的右支上，所以滿足PF≥c-a，從而得到a、c滿足的不等關(guān)系，求解出e的范圍。

三、利用平面幾何關(guān)系求解

例3：如圖2，F(xiàn)、M分別是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABM為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是多少？

解：由題意知ABM為等腰三角形，故只需∠AMB為銳角即可，只需∠AMF＜，

AF＜FM，

＜a+c，

b＜a+ac，

c-a＜a+ac，

c-ac-2a＜0，

e-e-2＜0，

-1＜e＜2.

又e＞1，

1＜e＜2.

評(píng)注：根據(jù)平面幾何的相關(guān)內(nèi)容得出a、b、c滿足的關(guān)系，從而得出e滿足的關(guān)系式。

四、利用漸近線求解

例4：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y=±x，則該雙曲線的離心率是多少？

解：由題意知=，

a=2b，c=b，

e==.

五、利用判別式求解

例5：設(shè)雙曲線-y=1（a＞0）與直線l∶x+y=1相交與兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求雙曲線的離心率的取值范圍？

解：由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0

雙曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)＞0，

0＜a＜2，且a≠1，

e===1+＞，且e≠2，

e＞，且e≠.