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已知二次函數范文第1篇

例1：在某市開展的環境創優活動中，某居民小區要在一塊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，若設花園靠墻的一邊長為x（m），花園的面積為y（m2）。

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）利用（1）中求得的函數關系式，判斷當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

【簡解】（1） y=- x2+20x （0＜x≤15）；

（2）錯解一：因為a=－ ＜0，所以當x＝－＝20時，函數y有最大值＝200；

錯解二：因為a＝－＜0，所以當x＝20時，函數y有最大值，但a＝20＞15，因此函數y不存在最大值。

【評析】以上兩種錯誤解答，都是對求二次函數最值的認識不全面而造成的。在解答該小題時，忽視了（1）中所求的自變量的取值范圍。事實上函數圖像的對稱軸是直線x＝20，而a=－＜0，所以當x＜20時，函數值y隨自變量x的增大而增大。又0＜x≤15＜20，即自變量的取值范圍在對稱軸的左邊，故當x＝15時，函數y有最大值等于187.5。

例2：（2008揚州市）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如下表：

未來40天內，前20天每天的價格y1（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y1= t+25（1≤t≤20且t為整數），后20天每天的價格y2（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y2=- t+40（21≤t≤40且t為整數）。下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：

（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的關系式；

（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

【簡解】（1）m=-2t+96；

（2）錯解：設前20天的銷售利潤為P1＝（－2t＋96）（t＋25－20）＝- t2＋14t＋480，因為a＝－＜0，所以當t＝－ ＝14時，函數P1有最大值＝578。

設后20天的銷售利潤為P2，則P2＝（－2t＋964）（- t+40-20）

＝（t-44）2-16，因為a=1＞0，所以函數P2無最大值，故當t＝14時，即第十四天銷售利潤最大為578元。

【評析】與例1不同的是，本題屬于分段函數，且函數P1、函數P2的自變量取值范圍已經給出，需要根據各自自變量的取值范圍先分別確定P1、P2的最大值，再通過對P1、P2的比較，最后確定最大日銷售利潤，即求函數的最大值。事實上，對于函數P1，上述結論是正確的，而對于P2，由于函數P2圖像的對稱軸是直線t＝44，當t＜44時，函數值P2隨自變量的增大而減小，而21≤t≤40＜44，即自變量取值范圍在對稱軸的左邊，所以當t＝21時，函數P2有最大值＝513，通過比較P1、P2的最大值可知當t＝14時，即第十四天銷售利潤最大為578元。

例3：（2009包頭市）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量 （件）與銷售單價 （元）符合一次函數y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45。

（1）求一次函數y=kx+b的表達式；

（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍。

【簡解】（1）y=-x+120；

（2）錯解：W=（X-60）y=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200，

所以，當x=- =90時，W最大值=900；

【評析】該小題與例2的不同之處是自變量的取值范圍并沒有直接給出，具有一定的隱蔽性。該解法就忽視了題中自變量的限制條件。事實上根據題意可得，所以60≤x≤87。又因為拋物線的開口向下，對稱軸是直線x=90，所以當x＜90時，函數值隨x的增大而增大，而自變量的取值范圍在對稱軸的左邊，故當x＝87時，W有最大值為891元；

已知二次函數范文第2篇

關鍵詞：高中數學;二次函數;數學思想;運用

1換元思想在二次函數最值問題中的運用分析

換元思想是高中數學學習中重要的思想方法之一，在對二次函數最值解答時，具有較好的應用效果，通過這種數學思想的運用可以對算式進行簡化，提高答題的效率。換元思想在數學中又被稱之為變量代換法，簡單來說就是將數學中較為復雜的等式通過換元思想簡化之后，就會變成我們日常學習中遇到的簡單函數，最后運用方程式，更加快速和有效的得出函數的范圍，求解出函數的最值。如：題目中已知時，對中最小值進行求解這一題目是高中數學二次函數中較為典型的最值求解，在進行解題時可以將換元思想運用到其中，找出解題的思路。首先設，根據，就可以得出，再將看做一個整體，將它的值設置為a，在將a值帶入到等式中得出x=，最后在x帶入到y=2x—3+中，經過整理之后得到3)1(212a++=y，這一公式中當a≥—1時，難么就表現為函數y值對著a值的增大而增大，并且函數存在最小值，即a=2時，將之帶入到公式y=3)1(212a++中，得到最小值，從而完成對該題目的解答［1］。

2對稱思想在二次函數求解析式中的運用分析

對高中數學二次函數的學習中，函數圖像也是其中的重點內容，通過對函數圖像的分析，對二次函數中函數圖像的性質和變化規律以及特點進行掌握，同時還能夠加深對二次函數的理解。除此之外，將函數圖像運用到二次函數的求解中對開闊解題思路，提高解答效率也具有十分重要的作用，可以將抽象化的數學問題運用直觀的圖像進行轉化，促使我們可以透過圖像對其中的變化情況準確的了解。在高中數學學習中，對稱思想的本質就是一種數行結合的解題思想，這一數學思想的運用主要是針對二次函數解析式問題，可以將題目中有限的條件，轉化成為具有重要價值的解題思想，并且將之運用到解題當中，得出正確的答案。如：題目中已知兩條拋物線21yy分別位于函數y=3822xx+−圖像中，并且與x軸和y軸相互對稱，求解21yy拋物線相對應的解析式。通過題目我們了解到其中沒有給出與求解函數相關的信息，因此對題目中的已知條件，需要從圖形關系中提到的對函數圖像對稱關系的函數解析式出發，解題的第一步就需要將其中提到的已知條件進行轉化，并在求解函數解析式中加以運用，而求解函數解析式就需要確定函數的定點，將函數進行變形，通過整理得出y=3822xx+−=21)2(22x−−，通過頂點式可以得出函數的頂點坐標為（2，—1）。在根據題意進行分析，題目中提到的函數1y與函數y是關于x軸呈對稱關系，在借由二次函數的圖像可以知道，關于x軸相互對稱的函數開口方向、拋物線和定點對稱是相同的，因此得出1y、2y的表達式為1y=21)2(22x+−=—22xx−+38，2y=21)2(22x−+=—22xx++38。

3聯想思想在二次函數不等式求解中的運用分析

聯想思想在二次函數解題中的運用與換元思想和對稱思想相比較對運用的要求更高，在實際學習和解題中的運用也更加的廣泛。聯想思想的運用主要是指在解題相關二次函數問題時，對題目中給出的已知條件，在結合相關二次函數知識，對已知條件與題目求解進行聯想。這一方法在實際解題中的運用，需要我們對題目給出的已知條件進行靈活運用，得出題目中隱含的信息。這一思想方法在二次函數中應用較為廣泛的是在不等式求解，通過對等式或者是不等式展開聯想，實現兩者之間的自由轉換，提高解題效率。如：題目中已知函數f（x）=a2x+bx+c，其中a≠0，f（x）—x=0，有且只有兩個解，即1x和2x，并且這兩個值需要滿足0<1x<2x<1。證明當x∈（0，1x）時，有x<f（x）<2x。這一題目中給出的已知條件相對較少，需要對其中提到的已知條件進行具體分析的基礎上完成解答。首先題目中提到的條件f（x）—x=0，經過轉換之后得到f（x）=x，通過轉化之后的信息，再結合二次函數圖像的特點可以得出這一圖像與直線y=x在第一象限中有不同的交點，就可以將函數整理成為f（x）=ax2+(b—1)x+1=0，在結合韋達定理和0<1x<2x<1已知要求，可以得出結論（0）<f（1x），再通過二次函數圖像可以證明x∈（0，1x）時，有x<f（x）<2x［2］。

4結語

通過上述內容，我們可以知道在高中數學二次函數學習中可以將換元思想、對稱思想和聯想思想進行運用，這三種思想也是高中數學學習的基本思想，在二次函數學習中都有不同的效用，可以針對二次函數問題的不同特性，運用與特性相適應的數學思想，可以提高解題的效率和保障解題的正確率，同時還能夠培養數學思維和能力。

參考文獻：

［1］紀智斌.“換元、對稱、聯想”思想方法在高中二次函數解題中的運用［J］.考試周刊，2014（43）：80~81.

已知二次函數范文第3篇

（一）一般式法

已知二次函數圖像經過三點的坐標，求函數解析式.像這樣的題型可以設二次函數解析式為y=ax2+bx+c，根據拋物線所經過三點的坐標可列出關于a，b，c的方程組，解出a，b，c.這種題型相對比較簡單，下面看例題：

例題已知拋物線y=ax2+bx+c經過A，B，C三點，當x≥0時，其圖像如圖所示.求拋物線的解析式，寫出頂點坐標.

分析通過圖像可以看出，拋物線經過A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三點，我們可以借助二次函數一般式求出其解析式，再轉化為頂點式，得出頂點坐標.

點評可以看出這是數形結合的一道題目，通過圖像可以看出拋物線所經過的三點坐標，然后設出二次函數的一般解析式，解出a，b，c.需要注意的是：如果這道題是求“圖像所表示的函數解析式”，那就必須加上自變量的取值范圍x≥0.對于二次函數的一般式和頂點式的轉化，學生必須要靈活掌握，可以通過配方，也可以通過頂點式.

（二）頂點式法

已知二次函數的圖像的頂點坐標（h，k），并且圖像上另一點坐標，求函數解析式.對于這樣的問題，我們可以設函數的解析式為y=a（x-h）2+k，將另一點坐標代入求出a.

例題已知二次函數的圖像經過點（0，3），且頂點坐標為（-1，4）求這個函數解析式.

點評對于這種題型，設頂點式比較簡單，但這并不是唯一的方法，也可以設一般式，代入頂點坐標的表達式，再通過代入一點的坐標列出相關等式，解出a，b，c.這種方法計算比較煩瑣，不建議用，但要讓學生知道一道題往往有多種方法.

（三）交點式法

已知二次函數圖像上的一點坐標及x軸交點的坐標（c，0）（b，0），求函數解析式.我們可以設函數解析式為y=a（x-b）（x-c），再將另一點坐標代入求出a.

例題（2005蕪湖）已知二次函數圖像經過（2，-3），對稱軸x=1，拋物線與x軸兩交點距離為4，求這個二次函數的解析式.

分析解這類題將點的坐標與線段的長互相轉化非常重要，但要注意坐標的符號，會運用拋物線與x軸的兩交點坐標與拋物線對稱軸的關系這塊知識及x軸上兩點之間的距離確定拋物線與x軸的交點，再利用交點式法求拋物線的表達式.

已知二次函數范文第4篇

關鍵詞：實際問題 二次函數 教學設計

一、創設問題情境

如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型（曲線AOB）的薄殼。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢？

分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式為：y=ax2（a

因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB=2（cm）；又CO=0.8m，所以點B的坐標為（2，-0.8）。

因為點B在拋物線上，將它的坐標代入（1）得-0.8=a×22，所以a=-0.2。

因此，所求函數關系式是y=-0.2x2。

請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。

二、引申拓展

問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系？

讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點、AB所在的直線為x軸、過點A的x軸的垂線為y軸建立直角坐標系也是可行的。

問題2：若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎？

分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為（0，0），B點坐標為（4，0），OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB，AC=2m，O點坐標為（2；0.8）。即把問題轉化為：已知拋物線過（0，0）、（4，0）、（2，0.8）三點，求這個二次函數的關系式。

二次函數的一般形式是y=ax2+bx+c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定a、b、c。已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。

解：設所求的二次函數關系式為y=ax2+bx+c。

因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC=CB，AC=2m，拱高OC=0.8m，所以O點坐標為（2，0.8），A點坐標為（0，0），B點坐標為（4，0）。

由已知，函數的圖象過（0，0）；可得c=0；又由于其圖象過（2，0.8）、（4，0），可得到 解這個方程組得a=-0.2、b=0.8，所以，所求的二次函數的關系式為y=-0.2x2+0.8x。

問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同？

問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種方式能使解決問題來得更簡便？為什么？

（第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易。）

請同學們閱讀P18例7。

三、課堂練習

P18練習1.（1）、（3），2。

四、綜合運用

例1.如圖（略）所示，求二次函數的關系式。

分析：觀察圖象可知，A點坐標是（8，0），C點坐標為（0，4）。從圖中可知對稱軸是直線x=3，由于拋物線是軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是（-2，0），問題轉化為已知三點求函數關系式。

解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是（8，0）、（0，4），對稱軸是直線x=3。因為對稱軸是直線x=3，所以B點坐標為（-2，0）。

設所求二次函數為y=ax2+bx+c，由已知，這個圖象經過點（0，4），可以得到c=4，又由于其圖象過（8，0）、（-2，0）兩點，可以得到 ，解這個方程組得a= 、b= ， 所以，所求二次函數的關系式是y=- x2+ x+4。

五、小結

二次函數的關系式有幾種形式，y=ax2+bx+c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c。由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。

已知二次函數范文第5篇

考點1：二次函數的對稱軸

函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正負將確定拋物線的開口方向；對稱軸位置，對稱軸兩邊函數隨自變量的變化情況；頂點坐標及與y軸交點的位置，拋物線在坐標平面內平移與頂點式y=a（x-h）2+k的變化關系。這些函數的性質，不僅要記憶而且要理解和會運用。例1：拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是（ ）

A.直線x=1 B.直線x=-1

C.直線x=2 D.直線x=-2

另一種方法：可將拋物線配方為y=a（x-h）2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=（x-1）2，所以對稱軸為x=1，應選A。

圖形的性質、判定、函數的性質，在復習時，要做好基礎知識的理解，加強記憶、理解和運用，。在具體問題中，會根據條件判斷出圖形具有什么特征，可以由這些特征確定求對稱軸思路。 考點2：二次函數的最值問題

大家知道，對于二次函數y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h為函數圖像頂點的橫坐標，k為頂點的縱坐標）來說，當a>0時，頂點（h，k）為圖像的最低點，即當x=h時，y的值最小，最小值為k；當a

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

頂點坐標為（1，-4）

該二次函數的最小值為-4.

另外，如果二次函數在一個實際問題中求最大最小值，除了考慮頂點坐標外，還要考慮自變量的端點值。

考點3：二次函數的平移問題

例3 若拋物線y=a（x-h）2+k向下平移一個單位后，再向左平移3個單位，所得到新拋物線的頂點坐標為（-2，0），且a+h+k=4.求原拋物線的解析式。

解析：拋物線平移，主要抓住頂點的平移，由于平移中a不變，只要變動頂點就行了.對于這類已知平移后的頂點坐標，求原頂點坐標的問題，采用逆推法更易獲解。

原拋物線頂點坐標（h，k）向下平移1個單位后為（h，k-1），再向左平移3個單位后為（h-3，k-1）。依題意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函數平移，不改變二次函數的開口方向和大小即二次項系數a不變，只改變頂點的位置，所以先求原拋物線的頂點，通過配方轉化為y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其圖象可以由y=ax2（a≠0）經過適當的平移得到。

考點4：求拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸的交點

在初中二次函數教學中，數形結合思想方法得到進一步滲透并被廣泛運用。學生從類似“一元二次方程ax2+bx+c=0的實根和二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交點的關系”、“二次函數y=ax2+bx+c的圖象分布情況與一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c

解：由x=0得y=-3，所以拋物線與y軸交點坐標為（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以拋物線與x軸交點坐標。

考點5：用待定系數法求二次函數的解析式

用待定系數法求二次函數的解析式是我們求解析式時最有效的常規方法，常見的有一般式、頂點式、交點式（或兩根式）等方法，選用恰當的方法求二次函數解析式，常能簡化計算，達到又快又準的效果。學次函數必須掌握二次函數的三種表達形式：一般式y=ax2+bx+c，交點式y=a（x-x1）（x-x2），頂點式y=a（x-h）2+k。在具體問題中要根據問題中條件，結合二次函數的圖象與性質及其它綜合知識，選擇恰當方法，就可能比較容易的解出二次函數的解析式，達到又快又準的效果。

例5：已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于點B（1，0）、C（5，0）兩點，求此拋物線的解析式.

思路點撥：由于已知三點，所以本題可以采用一般式求拋物線的解析式.但考慮到已知與x軸交點，所以用交點式更簡單.

解：設此拋物線為y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），則x1=1，x2=5。